D197. Des lieux peu communs (7ème épisode) Problème proposé par Dominique Roux
Etant donnés deux points A et C, pour tout point B que l'on projette en D sur AC on considère les centres des cercles circonscrits aux triangles (ABC), (ABD), (BCD). Quel est le lieu des points B tels que le cercle passant par ces trois centres soit tangent à AC ?
Les triangles ABD et BCD sont rectangles en D donc les centres E et F de leurs cercles circonscrits sont les milieux de leurs hypoténuses : E milieu de AB et F milieu de BC.
Notons les coordonnées de ces points :
A(-2,0), C(+2,0), B(2u,2v), E(u – 1,v), F(u+1,v)
Le cercle (ABC) a une équation de la forme x² – 4 +y² – 2gy = 0, on choisit g pour qu'il passe par B 4(u² – 1+v² – gv) = 0 , g = (u²+v² – 1)/v .
Les coordonnées du point G centre du cercle (ABC) sont donc [0, (u²+v² – 1)/v]
Un cercle quelconque passant par E et F a une équation de la forme (y–v)(y–m) + (x–u)² – 1 = 0, on choisit m pour qu'il passe par G :
[(u²+v² – 1)/v – v][(u²+v² – 1)/v – m] + u² – 1 = 0, m = (u²+2v² – 1)/v En remplaçant m par cette expression on trouve pour le cercle (EFG), l'équation :
x² + y² – 2ux – y(u²+3v² – 1)/v + 2(u²+v² – 1) = 0, et, pour que ce cercle soit tangent à AC, l'équation x² – 2ux + 2(u²+v² – 1) = 0 doit avoir une racine double, un discriminant nul :
2(u²+v² – 1) – u² = 0 soit u² + 2v² – 2 = 0 , les coordonnées de B vérifient x²/4 +y²/2 – 2 =0, x²/8 + y²/4 = 1
Le lieu des points B tels que le cercle passant par ces trois centres soit tangent à AC est l'ellipse de foyers A et C et dont les sommets de l'axe non focal sont les deux autres sommets du carré de diagonale AC.
