Introduction ` a la M´ ecanique des Milieux Continus D´ eformables

Introduction ` a la M´ ecanique des Milieux Continus D´ eformables

Samuel Forest

Centre des Mat´eriaux/UMR 7633 Mines ParisTech /CNRS BP 87, 91003 Evry, France

[email protected]

L’´ equipe enseignante

• Gilles Damamme D´epartement Mat´eriaux–CEA Couplages multiphysiques, mat´eriaux h´et´erog`enes

• Samuel Forest CNRS / Ecole des Mines de Paris Milieux continus g´en´eralis´es, mat´eriaux cristallins

• Serge Kruch ONERA

Lois de Comportement et M´ecanique de l’Endommagement

• Vincent Maurel Ecole des Mines de Paris Comportement `a haute temp´erature et fatigue

thermom´ecanique des mat´eriaux et structures

• Matthieu Mazi`ere Ecole des Mines de Paris Stabilit´e des mat´eriaux et des structures

Plan

1 Les objets de la m´ecanique des milieux continus Structures, microstructures, nanostructures Mati`ere, mat´eriaux

Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

Plan

1 Les objets de la m´ecanique des milieux continus Structures, microstructures, nanostructures Mati`ere, mat´eriaux

Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

D´emarche adopt´ee / supports p´edagogiques Liens avec les autres cours de l’Ecole

Plan

1 Les objets de la m´ecanique des milieux continus Structures, microstructures, nanostructures Mati`ere, mat´eriaux

Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

Structures du g´ enie civil

Structures du g´ enie civil

La commission administrative a conclu que deux ´ev´enements ´etaient `a l’origine de l’effondrement, qui a caus´e la mort de 4 personnes et bless´e 3 autres, le 23 mai 2004 :

”d’une part, le pliage et la perforation de la coque en b´eton arm´e par les ´etais m´etalliques qui devaient la soutenir. Dautre part, la rupture et la chute de la poutre qui supportait la coque”.

Structures du g´ enie civil

La commission a”fait des propositions pour am´eliorer les r`egles et pratiques pour des constructions non courantes, notamment pour accepter les modalit´es ´etude et de contrˆole li´ees `a leur complexit´e, instaurer, dans certains cas, un suivi de la vie des ouvrages”.

L’enquˆete administrative avait point´e la faible r´esistance initiale de la structure (insuffisance du ferraillage, faible ´epaisseur du b´eton...), conduisant le gestionnaire de la plate-forme `a d´ecider en mars de d´etruire la voˆute de la jet´ee pour la reconstruire totalement.“La structure en b´eton doit ˆetre remplac´ee tout ou partie par une structure en acier”.

Le coˆut de l’op´eration est estim´e `a 150 millions d’euros et sera ”tr`es largement couvert par les assurances”.

Rigueur et responsabilit´ e

• un probl`eme destatique

Die Statik der Halle war deutlich schlechter als f¨ur derartige Hallen vorgeschrieben. Eine genaue Berechnung der Tragf¨ahigkeit der Halle und der Dach-Statik hat ¨uberhaupt nie stattgefunden. Allein deshalb h¨atte die Halle laut Staatsanwalt gar nicht gebaut werden d¨urfen.

• un probl`eme demat´eriau

Ungeeigneter Klebstoff beim Dach. Ein weiterer Fehler laut Gutachten ist, dass das Dach mit Klebstoffen zusammengehalten worden ist, die f¨ur Eishallen gar nicht geeignet sind. Die verwendeten

Harnstoff-Formaldehyd-Kleber sind nur f¨ur

Structures industrielles

moteur d’avion

La pale de MMC de janvier 2006

Dimensionnement des disques de turbine de moteur d’h´ elicopt` ere

Les disques de turbine des moteurs d’avions et d’h´elicopt`eres sont des pi`eces tournantes dont le dimensionnement est d’une importance capitale pour l’int´egrit´e du moteur en service. Ils sont soumis `a des forces centrifuges consid´erables et ne doivent pas ´eclater. Un assemblage complet de turbines de moteur d’h´elicopt`ere est pr´esent´e sur la figure 1 (a) comprenant la partie froide (compresseur) et la partie chaude du moteur (turbines haute pression en sortie de chambre de combustion). Les sp´ecificit´es du moteur d’h´elicopt`ere par rapport au moteur d’avion de ligne sont sa taille limit´ee et des vitesses de rotation des turbines sensiblement plus ´elev´ees. Dans ce moteur, on distingue deux familles de disques :

• lesdisques al´es´esposs`edent un al´esage (trou) concentrique permettant le passage de l’arbre. Deux exemples sont donn´es sur les figures 1 (b) et (c).

• lesdisques non al´es´essont situ´es en tˆete ou fin d’assemblage et ne poss`edent pas de trou central (figure 1 (d)).

Les disques sont munis d’aubes formant un monobloc (figure 1 (b)) ou attach´ees grˆace `a des encoches comme sur les figures 1 (c) et (d). Les disques non solidaires de

Los Angeles, le 2 juin 2006...

Los Angeles, le 2 juin 2006...

Los Angeles, le 2 juin 2006...

Los Angeles, le 2 juin 2006...

Los Angeles, le 2 juin 2006...

Los Angeles, le 2 juin 2006...

Los Angeles, le 2 juin 2006...

Batam Island, Indonesia, le 4 novembre 2010...

Batam Island, Indonesia, le 4 novembre 2010...

http://www.atsb.gov.au/newsroom/news-items/qantas-airbus-a380-singapore.aspx

Batam Island, Indonesia, le 4 novembre 2010...

http://www.atsb.gov.au/newsroom/news-items/qantas-airbus-a380-singapore.aspx

Batam Island, Indonesia, le 4 novembre 2010...

http://www.atsb.gov.au/newsroom/news-items/qantas-airbus-a380-singapore.aspx

Batam Island, Indonesia, le 4 novembre 2010...

http://www.atsb.gov.au/newsroom/news-items/qantas-airbus-a380-singapore.aspx

Batam Island, Indonesia, le 4 novembre 2010...

An interim ATSB investigation report has confirmed the sequence of events that led to the 4 November 2010uncontained engine failureon board a QantasA380 aircraft over Batam Island, Indonesia.

Released today, the report highlights how the intermediate pressure turbine disc in the aircraft’s No. 2 engine had been weakened by an oil fire. As a result, thedisc separated from its shaft, increased its rotation speedand broke into several parts. Sections of the fractured discand other engine componentspenetrated the aircraft’s left wingand a number of other areas on the aircraft, resulting in significant structural and systems damage.

The oil fire that weakened the disc was due to a manufacturing defect in an oil feed pipe. That defect resulted infatigue crackingin the pipe, so that oil sprayed into an engine cavity where it ignited because of the high air temperature.

http://www.atsb.gov.au/newsroom/news-items/qantas-airbus-a380-singapore.aspx

Eclatement de disque de turbine

Essai de survitesse r´ealis´e sur banc jusqu’`a ´eclatement

source : Turbom´eca

Turbine de moteur d’h´ elicopt` ere

source : Turbom´eca

Turbine de moteur d’h´ elicopt` ere

source : Turbom´eca

Pr´ evision de l’´ eclatement d’un disque de turbine

calcul de structure par ´el´ements finis, carte des d´eformations [Mazi`ere, 2006]

Structures industrielles

compresseur / chambre de combustion / turbine haute pression

Structures industrielles

disque de turbine / aubes de turbine

Thermom´ ecanique des structures

Micro–m´ ecanique des composants ´ electroniques

wafer de silicium avec ses microprocesseurs

Micro–m´ ecanique des composants ´ electroniques

processeur multicouches / circuits de connections

Nano–m´ ecanique

nanomachine / d´eformation de nanotubes de carbone

Plan

1 Les objets de la m´ecanique des milieux continus Structures, microstructures, nanostructures Mati`ere, mat´eriaux

Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

La nature n’est pas continue...

Les mat´eriaux ont une structure multi´echelles : ´echelle atomique (mat´eriau c´eramique)

La nature n’est pas continue...

Les mat´eriaux ont une structure multi´echelles : ´echelle microscopique

microstructuregranulaire : grain d’un polycristal de zinc

La nature n’est pas continue...

Les mat´eriaux ont une structure multi´echelles : ´echelle microscopique

microstructuregranulaire : cristaux d’hornblende et quartz dans une roche m´etamorphique (taille de grain∼ 50µm)

La nature n’est pas continue...

Les mat´eriaux ont une structure multi´echelles : ´echelle microscopique

microstructuregranulaire : sph´erolites dans un polym`ere

La nature n’est pas continue...

Les mat´eriaux ont une structure multi´echelles : ´echelle microscopique

microstructurecellulaire : mousse de polyur´ethanne `a porosit´e ouverte (pavage de l’espace par des poly`edres)

Mat´ eriaux composites

Les mat´eriaux ont une structure multi´echelles : ´echelle microscopique

structurep´eriodique : nid d’abeilles en aluminium

Mat´ eriaux composites

Les mat´eriaux ont une structure multi´echelles : ´echelle microscopique

composites carbone–´epoxy / composite `a matrice m´etallique

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1 Les objets de la m´ecanique des milieux continus Structures, microstructures, nanostructures Mati`ere, mat´eriaux

Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

Dynamique mol´ eculaire

partir des ´equations de Newton...

limites : 10⁹ atomes, potentiels atomiques, informations inutiles...

d´emarche de Navier, Cauchy: l’hypoth`ese mol´eculaire

M´ ecanique des milieux granulaires

simulation num´erique d’un milieu granulaire : m´ecanique des solides ind´eformables + contact (non lin´eaire)

limites : quelques milliers de grains int´erˆets : lignes mat´erielles

Plan

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Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

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Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

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Champs de tenseurs–Notations

D´emarche adopt´ee / supports p´edagogiques Liens avec les autres cours de l’Ecole

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Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

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Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

L’´ el´ ement de volume dV de la m´ ecanique des milieux continus

• Notion depoint mat´eriel ou particule : un volume infinit´esimaldV centr´e enX dans l’espace affine euclidien

• dV ∼Volume El´ementaire Repr´esentatif

d L_VER L d taille des h´et´erog´en´eit´es LVER taille physique du VER Ltaille de la structure

• on va suivre le point mat´eriel sans s’occuper des constituants contenus dans le VER...

VER pour un polycristal m´etallique

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Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

Corps mat´ eriel M

M M

( , )E R

Le corps mat´erielM est un ensemble de points mat´eriels

Placement de r´ ef´ erence dans l’espace physique

M

Ω₀

M

X

( , )E R p

0

• Ω0est la position occup´ee dans l’espace physiqueE muni d’un r´ef´erentiel R`a un instant donn´eet₀

• le point mat´eriel M ∈ Moccupe la positionX dans cette configuration

• on l’adoptera comme configuration

Configuration actuelle dans l’espace physique

M

Ω₀ Ωt

M

X x

( , )E R

p p

0 t

• Ωt est la position actuelle occup´ee par le corps mat´eriel dans l’espace physiqueE `a l’instant t

• le point mat´eriel M ∈ Moccupe la positionx dans cette configuration

• on l’appelle configuration actuelle

Configuration actuelle dans l’espace physique

M

Ω₀ Ωt

M

X x

( , )E R

p p

0 t

Φ

• La transformation x = Φ(X,t) fait passer de Ω₀`a Ω_t

• La transformation est suppos´ee bijective et bicontinue

X = Φ⁻¹(x,t)

? pas de fission!

? pas de fusion!

Configuration interm´ ediaire du corps mat´ eriel

M

Ω

Ω

0 Ωt

τ M

X x

x( )τ

( , )E R

p p

p 0

τ

t

Φ

• La position deM

`

a 0≤τ≤t est not´ee Ωτ s’appelle configuration interm´ediairedu corps mat´eriel

• La transformation Φ(X, τ)0≤τ≤t

contientl’histoire de d´eformation du corps mat´eriel entre ces instants

Transformation du milieu continu

Ω

Ω

0 Ωt

τ

X x

x( )τ

( , )E R

Φ

• La transformation x = Φ(X,t) fait passer de Ω₀`a Ω_t

• Led´eplacement du point mat´eriel est d´efini par

u(X,t) =x −X u(X,t) = Φ(X,t)−X

Champs de tenseurs sur M

Des grandeurs physiques et thermom´ecaniques peuvent ˆetre attach´ees `a chaque point du corps mat´eriel.

On distingue alors deux situations :

• cas des milieux `a microstructure sous–jacente : plutˆot

“solides”

L’´el´ement de volumedV ∈Ω₀ centr´e en X devientdv ∈Ω_t centr´e en x. dV etdv contiennent les mˆemes particules mat´erielles.

champs de fonctions tensorielles F(X,t)

c’est l’approche ...

• cas des milieux sans microstructuresous–jacente : plutˆot

“fluides”

Les particules mat´erielles sont interchangeables et non identifi´ees. On ne s’int´eresse qu’aux quantit´es moyennes (vitesses) relatives aux particules traversant dv centr´e au point g´eom´etriquex ∈Ω_t `a l’instantt

champs de fonctions tensorielles f(x,t)

c’est l’approche ...

Le mod`ele continu 56/90

Points de vue lagrangien et eul´ erien

• cas des milieux `a microstructure sous–jacente : “solides”

L’´el´ement de volumedV ∈Ω₀ centr´e en X devientdv ∈Ω_t centr´e en x. dV etdv contiennent les mˆemes particules mat´erielles.

champs de fonctions tensorielles F(X,t)

c’est l’approchelagrangienne oumat´erielle

• cas desmilieux sans microstructure sous–jacente : “fluides”

Les particules mat´erielles sont interchangeables et non identifi´ees. On ne s’int´eresse qu’aux quantit´es moyennes (vitesses) relatives aux particules traversant dv centr´e au point g´eom´etriquex ∈Ω_t `a l’instantt

champs de fonctions tensorielles f(x,t)

c’est l’approcheeul´erienneouspatiale

• Les points de vue lagrangien et eul´erien sont ´equivalents :

Un exemple de transformation du milieu continu

x(t) =Q

∼(t).X +c(t) xi =QijXj +ci

Q∼ tenseur d’ordre 2 orthogonal : Q

∼.Q

∼

T =Q

∼

T.Q

∼ =1_∼avec detQ_∼ = 1

Un exemple de transformation du milieu continu

x(t) =Q

∼(t).X +c(t) xi =QijXj +ci

Q∼ tenseur d’ordre 2 orthogonal : Q

∼.Q

∼

T =Q

∼

T.Q

∼ =1_∼avec detQ_∼ = 1

Il s’agit d’un

mouvement de corps rigide=rotation(t)+translation(t) d’ensemble

La rotation et la translation ne doivent pas d´ependre deX. La d´ependance en t peut ˆetre quelconque (acc´el´eration non nulle).

Dans un rep`ere cart´esien orthonorm´e dont le troisi`eme axe est l’axe de rotation



 x₁ x₂ x3



=





cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0

0 0 1







 X₁ X₂ X3



+



 c₁ c₂ c3





Plan

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Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

D´emarche adopt´ee / supports p´edagogiques Liens avec les autres cours de l’Ecole

Milieux continus ou presque...

Les discontinuit´es sont tout `a fait envisageables en MMC

• sur des domaines de mesure nulle (surfaces, lignes, points); les grandeurs m´ecaniques sont continues “presque partout”...

Milieux continus ou presque...

Les discontinuit´es sont tout `a fait envisageables en MMC

• sur des domaines de mesure nulle (surfaces, lignes, points); les grandeurs m´ecaniques sont continues “presque partout”...

• fissure : le d´eplacement est discontinu

Milieux continus ou presque...

Les discontinuit´es sont tout `a fait envisageables en MMC

• sur des domaines de mesure nulle (surfaces, lignes, points); les grandeurs m´ecaniques sont continues “presque partout”...

• fissure : le d´eplacement est discontinu M´ecanique de la rupture

Milieux continus ou presque...

Les discontinuit´es sont tout `a fait envisageables en MMC

• sur des domaines de mesure nulle (surfaces, lignes, points); les grandeurs m´ecaniques sont continues “presque partout”...

• fissures

• sillage d’un cylindre dans un fluide, d´ecollement

Milieux continus ou presque...

Les discontinuit´es sont tout `a fait envisageables en MMC

• sur des domaines de mesure nulle (surfaces, lignes, points); les grandeurs m´ecaniques sont continues “presque partout”...

• m´ecanique des solides : fissures, interfaces...

• m´ecanique des fluides : sillages, ondes de chocs, cas turbulent non envisag´e ici

en r´ealit´e, couches limites...

Plan

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Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

D´emarche adopt´ee / supports p´edagogiques Liens avec les autres cours de l’Ecole

Plan

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Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

M´ ecanique des solides ind´ eformables

• les solides ind´eformables ne peuvent subir que des mouvements de la forme

x(t) =Q_∼(t).X +c(t) nombres d’inconnues (`a l’instantt)?

M´ ecanique des solides ind´ eformables

• les solides ind´eformables ne peuvent subir que des mouvements de la forme

x(t) =Q_∼(t).X +c(t)

6 degr´es de libert´e : 3 translations + 3 angles de rotation (angles d’Euler)

M´ ecanique des solides ind´ eformables

• les solides ind´eformables ne peuvent subir que des mouvements de la forme

x(t) =Q_∼(t).X +c(t)

6 degr´es de libert´e : 3 translations + 3 angles de rotation (angles d’Euler)

• Relation fondamentale de la dynamique torseur des efforts appliqu´es : {O,R,M_O}

M´ ecanique des solides ind´ eformables

• les solides ind´eformables ne peuvent subir que des mouvements de la forme

x(t) =Q_∼(t).X +c(t)

6 degr´es de libert´e : 3 translations + 3 angles de rotation (angles d’Euler)

• Relation fondamentale de la dynamique torseur des efforts appliqu´es : {O,R,M_O} r`egle de transformation :

{O⁰,R⁰,M_O⁰}, avec R⁰ =R, M_O⁰ =M_O+O⁰O ∧R

M´ ecanique des solides ind´ eformables

• les solides ind´eformables ne peuvent subir que des mouvements de la forme

x(t) =Q_∼(t).X +c(t)

6 degr´es de libert´e : 3 translations + 3 angles de rotation (angles d’Euler)

• Relation fondamentale de la dynamique torseur des efforts appliqu´es : {O,R,M_O} torseur dynamique (des quantit´es d’acc´el´eration) : {O,A,_dt^dσ_O}

M´ ecanique des solides ind´ eformables

• les solides ind´eformables ne peuvent subir que des mouvements de la forme

x(t) =Q_∼(t).X +c(t)

6 degr´es de libert´e : 3 translations + 3 angles de rotation (angles d’Euler)

• Relation fondamentale de la dynamique torseur des efforts appliqu´es : {O,R,M_O} torseur dynamique (des quantit´es d’acc´el´eration) : {O,A =ma_G,_dt^dσ_O}

Il existe au moins un r´ef´erentiel dit galil´een tel que

A =R, d

dtσ₀ =M_O 6 ´equations : le syst`eme est “ferm´e, clos”

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Mod´elisations discr`etes

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Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

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N´ ecessit´ e des lois de comportement

• solide ind´eformable : le torseur des efforts appliqu´es d´etermine sans ambigu¨ıt´e le mouvement

• corps d´eformable : son mouvement d´epend des efforts appliqu´es et de la nature du mat´eriau

un mˆeme chargement appliqu´e `a une barre d’acier ou de caoutchouc ne conduit pas `a la mˆeme transformation...

N´ ecessit´ e des lois de comportement

• solide ind´eformable : le torseur des efforts appliqu´es d´etermine sans ambigu¨ıt´e le mouvement

• corps d´eformable : son mouvement d´epend des efforts appliqu´es et de la nature du mat´eriau

un mˆeme chargement appliqu´e `a une barre d’acier ou de caoutchouc ne conduit pas `a la mˆeme transformation...

• la loi de comportement permet de prendre en compte les propri´et´es de la mati`ere dans la mod´elisation. On reviendra en d´etail sur sa forme.

• Vari´et´e des comportements

? ´elasticit´e←−exemple d´evelopp´e dans ce cours

? viscosit´e

? plasticit´e

? ´elastoviscoplasticit´e...

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Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

Exemple de mise en œuvre de la MMC

simulation num´erique de la r´eponse d’une culasse automobile (calcul parall`ele)

Exemple de mise en œuvre de la MMC

simulation num´erique de la r´eponse d’une culasse automobile

Bio–m´ ecanique

simulation num´erique du choc passager automobile

[ENSAM Paris, 2003]

M´ ecanique du vivant

comportement visco´elastique d’une cellule vivante

Plan

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Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

D´emarche adopt´ee / supports p´edagogiques Liens avec les autres cours de l’Ecole

Plan

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Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

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Discontinuit´es, singularit´es

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Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

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Champs de tenseurs–Notations

Notations

champs de tenseurs euclidiens; base orthonorm´ee (e₁,e₂,e₃)

• tenseurs d’ordre 0 : scalaires f(X,t)

• tenseurs d’ordre 1 : vecteurs x(X,t)

x =xie_i, [x] =



 x₁ x2

x₃





• tenseurs d’ordre 2 : applications lin´eaires / formes bilin´eaires C_∼(X,t)

C_∼ =C_ije_i ⊗e_j, [C_∼] =





C11 C12 C13

C₂₁ C₂₂ C₂₃ C₃₁ C₃₂ C₃₃





• op´erations sur les tenseurs dans une baseorthonorm´ee a.b =aibi = [a]^T[b], σ_∼.n =σijnje_i, [σ_∼.n] = [σ_∼] [n]

m.σ_∼.n =m_iσ_ijn_j = [m]^T[σ_∼][n]

σ_∼ :L_∼=σ_ijL_ij =trace(σ_∼.L_∼^T) =trace([σ_∼] [L_∼]^T)

Plan

1 Les objets de la m´ecanique des milieux continus Structures, microstructures, nanostructures Mati`ere, mat´eriaux

Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

Plan du cours oral

Amphis

1. Introduction : du discret au continu

2. Equations de bilan : masse, quantit´e de mouvement, moment cin´etique

3. Le tenseur des contraintes : une vraie nouveaut´e 4. Tenseurs : pour la m´ecanique et la physique 5. Cin´ematique : d´eformation du milieu continu

6. Lois de comportement : n´ecessit´e et principes fondamentaux 7. Hyper´elasticit´e

8. Comportement thermo´elastique lin´eaire

9. Probl`eme d’´equilibre lin´earis´e : formulation et m´ethodes de r´esolution

Exercices: probl`emes d’´equilibre lin´earis´e des solides thermo´elastiques (traction, flexion, torsion, r´eservoirs sous pression, ondes ´elastiques, etc.)

Supports de cours

• le poly + sa version interactive `a t´el´echarger depuis le site

• le site web

? http://mms2.ensmp.fr/

? retrouvez les transparents sur le site web!

• les exercices

Quelques recommandations

• Le cours de M´ecanique des Milieux Continus est un cours difficile, enseign´e en un temps record (attention: cours

diss´emin´es d’octobre `a d´ecembre et tr`es concentr´e en janvier).

• Le pouvoir defascination de l’une des plus belles disciplines de la Physique moderne naˆıtra d’un travail assidu!

• Les connaissances n´ecessaires `a l’examen sont le contenu du cours oral et des PC.

• On ne peut pas faire des exercices sur toutes les parties du cours...

• Le poly est ´epais car les explications sont d´etaill´ees. Il d´epasse largement le contenu du cours. On s’y r´ef´erera pour toute d´emonstration ou prolongement des r´esultats du cours.

T´el´echargeable `a distance, il pourra jouer le rˆole dehandbook pour vos s´ejours `a l’´etranger ou en entreprise.

Plan

1 Les objets de la m´ecanique des milieux continus Structures, microstructures, nanostructures Mati`ere, mat´eriaux

Mod´elisations discr`etes

2 Le mod`ele continu

Du discret au continu : notion de point mat´eriel Transformation du milieu continu

Discontinuit´es, singularit´es

3 Comportement des mat´eriaux Cas des solides rigides

Le probl`eme de fermeture : lois de comportement Exemples de mod´elisations continues

4 Plan du cours

Champs de tenseurs–Notations

Liens avec les autres cours de l’Ecole

C’est le cours introductif `a

• la m´ecanique des mat´eriaux solides 3122;

• la thermom´ecanique des fluides 3243;

Il fait appel `a des notions qui seront d´evelopp´ees dans le d´etail en

• Math´ematiques 1201 - 1121 - 1132;

• Thermodynamique 2411;

• Mat´eriaux pour l’ing´enieur 6134;

• Cristallographie S2333 ⇐= importance des SYMETRIES Prolongements

• M´ecanique des milieux continus 2 S3324;

• Dynamique des constructions S3933;

• G´eom´ecanique et g´eologie de l’ing´enieur S4633; Hydrog´eologie S4923;

• Calcul scientifique S1923; El´ements finis S3733 - S3735;

• Physique des solides S2634; Mise en œuvre des polym`eres;