D1700. Le cercle de Floor van Lamoen
Dans le triangleABC : Gest le barycentre,
ma,mb, mc les milieux deBC,CA, AB.
∆a,∆a0,∆b,∆b0,∆c,∆c0 sont les m´ediatrices des segmentsGA,Gma,· · · Les6centres des cercles(AGmc),· · · sont :
P = ∆a∩∆c0 Q= ∆a∩∆b0 R= ∆c∩∆a0
S = ∆c∩∆b0 T = ∆b∩∆a0 U = ∆b∩∆c0
L’hexagone P QRST U a ses cˆot´es oppos´es parall`eles, il est donc inscrit dans une conique (droite de Pascal rejet´ee `a l’infini). Le probl`eme revient alors `a montrer que4de ses sommets sont co-cycliques (P,Q,T etU en l’occurrence).
∆a, ∆a0, ∆b et ∆b0 forment le parall´elogramme HQIT et G appartient au segmentHI : −−→
HG= 2−→ GI
On veut montrer que HU ×HT = HP ×HQ, et pour cela que la droite HGI est l’axe radical des cerclesΓp = (P QI)etΓu = (U T I).
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Les projections orthogonales deGsont : α sur∆a,β sur∆b etγ sur∆c0. αβγ est l’homoth´etique (rapport 1/2) du cˆot´e AB : β est le milieu de αγ. C’est la droite de Simson de G relativement `a HP U, donc G appartient au cercleΨcirconscrit `a ce triangle.
La droiteP I recoupeΓu enM; U I recoupeΓp enL : P M U\ =P LU\ =π−U HP\ ⇒ U M I\ =π−IT U[
⇒ ILP[ =π−\P QI Lappartient `a Γp,M appartient `a Γu.
I =P M ∩U L J =M U∩P L K0 =P U ∩M L
K0 est le pˆole de IJ. On doit maintenant montrer que K0 est aussi le pˆole de HGce qui montrera queHG, confondue avecIJ, est bien l’axe radical deΓp
et Γu.
On utilise pour cela la r´eciproque de la propri´et´e suivante (suggestion de Jean- Louis Aym´e):
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dans le triangle ABC, la sym´ediane issue deA coupe le cercle circonscrit en D. La droite de Simson deD (ha surBC, hb surAC,hc sur AB) est telle quehaest le milieu dehbhc.
En effet, D0, sym´etrique deD par rapport `aha est sur la m´edianeAM.
La sym´ediane ext´erieureAE, lieu des points dont les distances `a AB et AC sont proportionnelles aux longueurs de ces cˆot´es, est la conjugu´ee harmonique deAD par rapport `aAB,AC et donc tangente au cercle circonscrit.
AD est aussi la sym´ediane issue deD dansBDC, ce qui montre queE est le pˆole deADpar rapport au cercle circonscrit.
Remarque : BC est aussi la sym´ediane issue de B dans ABD, et celle issue deC dansACD.
Retour au cercle de Lamoen :
la droiteHGIest l’axe radical deΓpetΓu ⇒ HP×HQ=HU×HT
P , Q, R, S, T , U sont co-cycliques.
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