Série 6 : Suites réelles

PCSI 2 - CPGE Med V - Casablanca

Série 6 : Suites réelles

Jeudi 28 Octobre 2004 Exercice 1:

Soitxréel xe. Etudier les limites des suites de terme général :

E(nx) n

,

_n P

k=1 E(kx)

n²

.

Exercice 2:

Donner la limite de

n

Y

k=1

(1 + k

n²) quand n −→ +∞. On pourra utiliser l'inégalité : x−^x₂² ≤ln(1 +x)≤x ∀x≥0 ainsi que les valeurs des sommes :

n

X

k=1

k;

n

X

k=1

k².

Exercice 3:

On considère la suite (u_n) dénie par : ∀n∈N^∗ u_n= √ⁿ n!.

1. Montrer que :ln(un) =

n

X

k=2

ln(k)

n .

2. Soitk un entier,k≥2. Démontrer l'encadrement : Z k k−1

lnx dx≤lnk≤ Z k+1

k

lnx dx . 3. En déduire un encadrement de lnun. Montrer queun−→+∞.

4. Pour tout n ∈ N^∗, on pose vn = ln un+1

un

. Étudier le signe de vn. En déduire le sens de variation de la suite(u_n).

Exercice 4:

Soit ((un),(vn)) ∈ ([0,1^N)² tel que (unvn) converge vers 1 , montrer que (un),(vn) convergent aussi vers 1 .

Exercice 5:

Pour tout n∈N^∗, on pose Sn=

n

X

k=1

√1

k et un= ^√Sn_n. 1. Par récurrence, montrer que ∈N^∗ S_n≤√

n−1 +√ n. 2. Par récurrence, montrer que ∈N^∗ S_n≥2√

n+ 1−2. 3. La suite(S_n) est-elle convergente ?

4. Montrer que la suite(u_n) converge et déterminer sa limite.

Exercice 6:

Soient a, bdeux réels positifs xes. Trouver toutes les suites rélles vériant :

1. u0 =a, u1=b, un+2 = ¹₂(un+1+un) . 2. u0 =a, u1=b, un+2 =√

un+1un.

Exercice 7:

Soit (u_n)∈R^N .Montrer que :

1. (u2n),(u2n+1)convergent vers la mémme limite =⇒ (un) converge . 2. (u2n),(u2n+1),(u3n) convergent=⇒ (un) converge .

Exercice 8:

Soit (u_n) une suite monotone qui admet une sous-suite (u_ϕ(n)) convergente, montrer que(un) est aussi convergente .

Exercice 9:

Soit (x_n)∈R^N convergente et Lsa limite on suppose queL /∈N 1. Montrer queE(L)< xn< E(L) + 1a partir d'un certain rang.

2. En déduire que(E(xn))converge versE(L)

Exercice 10:

Soit m∈N^∗ on poseun(m) =

nm

X

k=n+1

1 k

1. Montrer queun(m) est monotone puis qu'elle converge , soitL(m)sa limite 2. Monter queL(pq) =L(p) +L(q) ∀(p, q)∈N^∗2

Exercice 11:

On pose u_n=cos(n), v_n=sin(n) 1. Exprimerun+1, vn+1 en fonction deun, vn

2. Montrer que si (u_n) converge alors(u_n) et(v_n)convergent vers 0 3. conclure que(u_n) et(v_n) ne peuvent pas converger

Exercice 12:

(a, b)∈(R^∗+)², a < b, u0 =a, u1 =b, un+1= un+un−1

2 1. Montrer(u_2n),(u_2n+1) que suites sont adjacentes.

2. Calculerun+1−un, en deduirelimun.

Exercice 13:

1. Trissection de l'angle : Soit0< θ < ^π₂. Exprimersin(3θ) en fonction desin(θ).

2. On pose : u0 = 0, un+1 = ¹₃(4u³_n+ sin(θ)). Montrer que (un)est croissante majorée, preciser sa limite.

3. Expliquer l'origine de l'appelation Trissection de l'angle. Donner les 3 premières valeurs ap- prochées desin₁₈^π.

Exercice 14:

Moyenne arithmico-géometrique : Soit (a, b)∈(R^∗+)² tel que a > b, on pose : a₀ =a, b₀ =b, a_n+1= ^an+b₂ ⁿ, b_n+1=√

a_nb_n 1. Montrer que ces suites sont bien dénies.

2. Montrer qu'elles sont adjacentes , on note parM(a, b)leurs limite communes appelle moyenne arithmico - géométrique dea etb.

3. Montrer que pout toutn∈N:

a²_n−b²_n

≤16b² b²−a²

16b²

2ⁿ

.

4. Donner une majoration dean−M(a, b) etM(a, b)−bnen fonction de a, b, n 5. En déduire une valeur approche par défaut et une par excès deM(2,1)à10⁻⁵pr`es

Exercice 15:

Calcul approche deπ à l'aide de la methode des isopêrimétres.

1. Soit (a, b)∈ (R^∗+)² tel que a < b, on pose : a0 =a, b0 =b, an+1 = ^an+b₂ ⁿ, bn+1 =p

an+1bn . Montrer que ces suites sont bien dénies et adjacentes.

2. Exprimer leurs limites communes en fonction deθ=arccos(^a_b). On pourra d'abord commencer par exprimer les a_n, b_n en fonction de θ.

3. soit n∈N, etP_n le polygone régulier à 2ⁿ côtés et de périmètre 2, soitr_n le rayon du cercle inscrit etRn celui du cercle circonscrit àPn, montrer que∀n≥2on a :

r_n+1= ^rn+R₂ ⁿ, R_n+1 =√

r_n+1R_n.

4. En déduire qu'elle sont adjacentes puis en remarquant que 1

R_n ≤ π ≤ 1

r_n en déduire que 1

R_n, 1

r_n convergent vers π.

Exercice 16:

Calcul approché deπ à l'aide de la méthode de Viete.

1. Soit0< θ < πtel quesin(₂^θn)6= 0 ∀n∈N, montrer que les suites(2ⁿsin(₂^θn))et(2ⁿtan(₂^θn)) sont adjacentes, calculer leurs limites communes.

2. Soit((u_n),(v_n))∈(R^N)² dénies par :u₀=√

2, v₀= 4, u_n+1 =√

2 +u_n, v_n+1 = 2v_n, montrer quevn

√2−un→π. On pourra utiliser la relation : 1 + cos 2θ= 2 cos^θ₂.

Exercice 17:

Soit(a, b)∈(R^∗+)²tel quea < b, on posea0 =a, b0 =b, an+1= _a^2anbn

n+bn, bn+1 = ^an+b₂ ⁿ. 1. Montrer que ces suites sont bien dénies et adjacentes.

2. Calculer leurs limites communes.

Exercice 18:

∀n∈N on poseI_n= Z 1

0

xⁿe^−xdx.

1. Montrer que0≤In≤ _n+1¹ en déduire la limite deIn.

2. A l'aide d'une intégration par parties établir que :(n+ 1)I_n=e⁻¹+I_n+1. 3. En déduire un équivalent simple deIn.

Exercice 19:

Montrer les resultats suivants : 1. E(n√

n+ 1) +E(n√

n)∼2n√ n.

2. un∼ _ln(10)^ln(n) oùun= le nombre de chires dans l'ecriture de nen base 10.

3. ₂n²+3ⁿ⁺ⁿⁿ−n^2−32004 ∼(²₃)ⁿ. 4. C_2nⁿ =o(aⁿ) si a >4.

5. aⁿ=o(C_2nⁿ) si 0< a <4.

Exercice 20:

Soit (un)∈(R)^N denie par :u0= 2, un+1 = _1+u^2un2 n

1. Exprimer ^1+u_1−uⁿ_n puisu_n en fonction de n . 2. En deduire un equivalent simple deu_n.

Exercice 21:

Soit (un)∈R^N , l∈R ,on posevn= _n¹

n

P

i=1

ui , wn= ⁿ s n

Q

i=1

ui si ui>0,∀i 1. Montrer queu_n−→l=⇒v_n−→l , w_n−→l Théoréme de Césaro.

2. A l'aide d'une contre exemple montrer que la réciproque est fausse 3. Montrer en revanche que :un−→ ∞ ⇔ ¹_n

n

P

i=1

ui→+∞.

Exercice 22:

1. Recherche d'equivalent simple : Soit(u_n)∈(R⁺)^Nà partir d'un certain rang telle queu_n→0 si on peut trouver un couple(α, β)∈R^−∗×R^+∗ tels queu^α_n−u^α_n−1 →β. Montrer alors que : u^α_n−u^α₀

n →β.

Indication : On pourra utiliser le théorème de Cesaro.

2. En déduire alors que :u_n∼(nβ)^α1.

3. Application : Donner un équivalent simple des suivantes denies par u0 =a∈]0,1[et : (a) un= ln(1 +un−1)( Indication :x−^x₂² <ln(1 +x)< x−^x₂² +^x₃³ pourx >0).

(b) un= sin(un−1) ( Indication :x−^x₆³ <sin(x)< x−^x₆³ +^x_5!⁵ pour x >0)

Exercice 23:

On pose pout tout n ∈N In = Z ^π

2

0

sinⁿ(t)dt Integrales de Wallis et on se propose démontrer le résultat suivant :n!∼ ⁿ_en√

2πn formule de Stirling : 1. Trouver une relation de récurrence entre I_n etI_n+2.

2. CalculerI_2n etI_2n+1.

3. Montrer queI_n+2 ≤I_n+1≤I_n , en déduire que :I_n∼In+ 1.

4. Calculer le produitI_2nI_2n+1, en déduire un équivalent simple deI_2n, I_2n+1 puis celui deI_n. 5. On pose pout tout n ∈ N α_n = _n^n!e_n^√n_n, montrer que ln

αn

αn+1

∼ ¹

4n². On pourra l'utiliser sans le démontrer le résultat suivant : ln(1 +¹_n) = _n¹ −_2n¹₂ +n avec n=O _n¹3

. 6. En déduire que :∀ε >0 : _5n¹2 ≤ln

α²_n αn+1

≤ _n¹₂ à partir d'un certain rang.

7. Montrer que la suiteSn=

n

X

k=1

1

k² est majorée.

8. En deduire que

n

X

k=1

ln α_k

α_k+1

est croissante majorée, donc converge. Conclure queαnconverge, on noteraα sa limite sans chercher à la calculer.

9. Exprimer _α^α_2n²ⁿ en fonction den etI_2n. 10. En deduireα puis que : n!∼ ⁿ_en√

2πn: formule de Stirling : 11. En deduirelim

(2n)!

(n!)²

. a

FIN

c

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