CONTINUITE
Définition :
Soit f définie sur I = ] a – r ; a + r [ avec r > 0 et a I ∈ f continue en a ⇔ lim
xa xa
fx
= lim
xa xa
fx = f(a) f continue sur I si elle l’est en tout a de I.
Remarque : Si I = [a;a+r[ f continue en a ⇔ lim
xa xa
fx
= f(a) Si I = ]a-r;a] f continue en a ⇔ lim
xa xa
fx = f(a)
Graphiquement, la continuité sur I se traduit par le fait que la courbe peut se tracer sans lever le crayon.
Propriété :
Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I
Attention la réciproque est fausse :
la fonction racine carrée est continue en 0 mais pas dérivable en 0.Propreté :
Si f et g continues sur I alors f + g ; k.f (k un réel) et fg sont continues sur I..
Si f et g continues sur I et g ne s’annule pas sur I alors f
g est continue sur I..
.
Conséquences : Les fonctions polynômes sont continues sur .ℝ
Les fonctions rationnelles sont continues sur les intervalles leur ensemble de définition.
La fonction racine est continue sur ℝ+
La fonction valeur absolue est continue sur ℝ Exercices: 77 p 76 - Ex1 (fin de cette fiche) – 81 1) p 76
Th des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur I et a, b deux réels de I alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) , il existe au moins un réel c entre a et b tel que f(c) = k Donc l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans [a;b]
Corollaire :
Soit 2 réels a et b avec a < b.
Si f est continue et strictement monotone sur [a;b], pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) , il existe un et un seul réel c dans [a;b] tel que f(c) = k.
Donc l'équation f(x) = k admet une et une seule solution dans [a;b]
Corollaire :
a et b désignent des réels ou +∞ ou -∞.
Si f est continue et strictement monotone sur ]a;b[, pour tout réel k compris entre limxafx et lim
xbfx , il existe un et un seul réel c dans ]a;b[ tel que f(c) = k.
Exercices: ex 2 ( fin de cette fiche) + 88 p 77 – Ex 2 (fin de cette fiche) – 95 p 78
EXERCICE 1 :
Soit la fonction f définie sur [ -3 ; + ∞ [ par :
{
f(x) = 2 x + 4 si x ∈ [ -3 ; 1 [ f(x) = - 2x + 8 si x ∈ [ 1 ; 3 [ f(x) = x - 4 si x ∈ [3 ; +∞ [ 1) Etudier la continuité de f en 1 et 3.2) Tracer la courbe représentative de f.
EXERCICE 2:
a) Déterminer le nombre de solution de l'équation ex−2 x=7 sur [ 0 + ∞ [ . b) A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de cette solution à 10−3 près.
c) Faire un algorithme qui calcule à 10−3 près la solution de cette équation.
0 1 1
x y
