CONTINUITE Aspect global

1

CONTINUITE Aspect global

A. Présentation :

Nous avons étudié la continuité d’une fonction en un point (aspect ponctuel) 1) Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x₀un réel élément de I ou une extrémité de I Ø Si f est définie en x₀ et possède une limite L en x₀ , on a nécessairement L f x

 

0 On dit alors que la fonction f est continue en x₀

Ø Si f est non définie en x₀ et possède une limite L en x₀ , on note g le prolongement de f à I

 

x0 défini par g x

 

0 L

La fonction g est continue en x₀ : on l’appelle le prolongement par continuité de f en x₀

2) Propriétés

Soient f etg deux fonctions définies sur un intervalle I contenant le réel x₀

· Si f et g continues en x₀ alors fg etfg continue en x₀

· Si f continue enx₀ et f x

 

₀ 0 alors 1

f continue en x₀

· Si f et g continues en x₀et g x

 

0 0alors f

g continue en x₀ On considère deux intervalles I etJ

Soient f : I¡ etg : J¡ deux fonctions telles que ^{f I}

 

^J

· Si f est continue en x₀I et g continue en a f x

 

0 alors go f est continue en x₀

B. Fonction continue sur un intervalle

1) Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I

On dit que f est continue sur l’intervalle I si f est continue en tout point de I 2) Notations

On note ^{C I ,¡}

 

^ou C⁰



I ,¡



l’ensemble des fonctions définies et continues sur I 3) Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle

En utilisant les propriétés ponctuelles, on établit que :

2

Si f etg sont deux fonctions définies et continues sur un intervalle I : f etgC I ,



¡



Alors fg , fg sont continues sur I

Si de plus g ne s’annule pas sur I , f

g continue sur I On considère deux intervalles I etJ

Si f : I¡ continue sur I etg : J¡ continue sur J telles que f I

 

J alors go f est continue sur I

4) Fonctions de référence

La fonction valeur absolue est continue sur ¡ Toute fonction polynomiale est continue sur ¡

Toute fonction rationnelle (quotient de deux fonctions polynomiales) est continue sur tout intervalle sur lequel le dénominateur ne s’annule pas

La fonction racine carrée est continue sur ¡_

Les fonctions xaⁿ x (n entier supérieur ou égal à 2) sont continues sur leur ensemble de définition Les fonctions exponentielles sont continues sur ¡

Les fonctions logarithmes sont continues sur



^0,



Les fonctions ^xaxa



^a¡



sont continues sur



0,



Les fonctions sin et cos sont continues sur ¡

La fonction tan est continue sur tout intervalle inclus dans

\^p2k ;kp  ^

¡ ¢

Les fonctions sh, ch et th sont continue sur ¡

Les fonctions arcsin et arccos sont continues sur



1 1,



La fonction arctan est continue sur ¡

Exercices :

Etudier la continuité des fonctions suivantes :

Ø La fonction f définie sur ¡ par

  

^{1 2}



si 0 0 si 0

ln x

f x x x

x

 

 

 

 



Ø La fonction f définie sur ¡ par

 

1

1 si 1

0 si 1

e x x

f x

x

  

  

3

C. Théorème des valeurs intermédiaires

1) Théorème

Soit fC I ,



¡



, a et b deux éléments de I tel que ab

Pour tout réel l compris entre f a

 

et f b

 

, il existe (au moins) un réel c



a,b



tel que f c

 

l Remarque : le théorème est souvent utilisé avec l0

Soit fC I ,



¡



, a et b deux éléments de I tel que ab

Si f a f b

   

0 alors il existe (au moins) un réel c



a,b



tel que f c

 

0 Démonstration :

Première étape : construction de suites adjacentes par dichotomie

Soient



^a,b



un segment réel non réduit à un point



^ab



^,A une partie de



^a,b



^{et B}



^{a,b \ A}



On construit deux suites

 

a_{n n¥} et

 

b_{n n¥} de la manière suivante : On pose a₀a etb₀b

Les réels a_n etb_n étant construits, on considère le milieu

2

n n

n

a b

c 

 du segment



a ,bn n



Si c_nA , on pose ¹

1

n n

n n

a c

b b





 

 

 , si c_nB , on pose ¹

1

n n

n n

a a

b c





 

 



Par construction les termes de la suite

 

a_{n n¥}appartiennent à A et ceux de la suite

 

b_{n n¥}àB La suite

 

^a_{n n¥}est croissante , la suite

 

^b_{n n¥}est décroissante et la longueur du segment a_n1,b_n1 est la moitié du segment



a ,b_{n n}



: la suite



b_na_{n n}



_

¥ est géométrique de raison 1

2 , elle converge donc vers 0

Les suites

 

a_{n n¥} et

 

b_{n n¥}sont donc adjacentes : elles convergent vers le même réel Deuxième étape : application à la fonction f continue sur



a,b



On peut supposer que ni f a

 

, ni f b

 

ne sont égaux à l sinon on prend ca ou cb On peut de plus supposer que f a

 

 l f b

 

Sinon on montrerait que la fonction f prend la valeurl En effet f b

 

 l f a

 

f a

 

 l f b

 

Troisième étape : on applique ce qui précède à ^A



^x



^{a,b f x}

  

^l



^{et donc}

   

 

B x a,b f x l

On construit deux suites adjacentes

 

a_{n n¥} et

 

b_{n n¥}telles que  n ¥, f a

 

n l et f b

 

n l Posons c la limite commune de ces deux suites , comme f continue sur



a,b



on a :

   

n

 

n

 

n n

f c lim f a lim f b l f c l

 

     , soit f c

 

l

4 2) Corollaire

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle

Démonstration :

Soit I un intervalle de¡ et f une fonction continue sur I

Considérons deux éléments quelconques x ety avec xy de f I

 

et montrons que



x, y



 f I

 

Il existe a etb dans I tels que x f a

 

ety f b

 

Soit z



x, y



, d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe c entre a etb tel que

 

f c z

Comme a etb appartiennent à I , c est aussi élément de I et donc z f c

 

f I

 

Exemple 1 :

Soit deux réels a etb tels que ab

Soit f : a,b

  

 a,b



une fonction continue. Montrer qu’il existe c



a,b



tel que f c

 

c Indication : utiliser la fonction g définie sur



a,b



par g x

 

 f x

 

x

Exemple 2 :

Montrer que toute fonction polynomiale de degré impair s’annule sur¡

5

3) Image d’un segment par une fonction continue (admis) Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes Corollaire :

L’image d’un segment par une fonction continue est un segment

Si f est continue sur



^a,b



^avecab, on a : ^f

 

^a,b

 

^

^

^m,M

^

^où _{ }

 

x a ,b

m min f x

  et

 

 

x a ,b

M max f x

 

4) Fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur I alors f réalise une bijection de I sur l’intervalle ^{J f I}

 

La bijection réciproque f^1: JI est continue et strictement monotone sur J , de même monotonie que f

Démonstration :

L’application f : I J f I

 

est surjective, de plus elle est injective puisque f est strictement monotone sur I .De plus J f I

 

est un intervalle (corollaire du théorème des valeurs

intermédiaires)

Supposons f strictement croissante sur I et soit



y, y'



J² tel que yy' Notons x f^1

 

y etx' f^1

 

y'

Si xx' , on aurait par croissance de f , f x

 

 y f x'

 

y' : ce qui est absurde. Ainsi xx' On a montré que f^1 est strictement croissante

Montrons finalement que f^1 est continue sur J en supposant toujours que f strictement croissante sur I. Soit y₀J et x0 f^1

 

y0 I

Premier cas :x₀ n’est pas une borne de I Soit e0

0 e'

  , tel que e'e et



x₀e',x₀e'



I On a : f x



0e'



 f I

 

J et f x



0e'



 f I

 

J

Soient h₁y₀f x



₀e'



, h₂ f x



₀e'



y₀et hmin



h h1, 2



Soit y f I

 





y₀h, y₀h



, on a : y₀  h y y₀ h y₀  h₁ y y₀h₂

On peut écrire

   

 

 

1

1

0 0 0 0

f strict .croissante sur f I

f x e'  y f x e' _  x  e' f^ y x e' Finalement    e 0, h 0 , ^{ y f I ,}

 

yy0  h f^1

 

y f^1

 

y0 e La fonction f^1 est donc continue en tout point y₀ def I

 

: elle est continue sur f I

 

Deuxième cas : x₀ est une borne ou extrémité de I

Même démonstration que précédemment en considérant



x ,x0 0e'



ou



x0e',x0



Rappel :

Les courbes représentatives de f et f^1 dans le même repère orthonormé



^{O,i, jr r}



sont symétriques par rapport à la droite d’équation yx (première bissectrice des axes)

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