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Terminale S Sujets de Bacs 2006-2007
2004, Antilles Guyane (an) et (bn) sont les suites définies par a0 = 1, b0 = 7 et an+1 = (1/3)(2an + bn)
bn+1 = (1/3)(an + 2bn) .
Soit (D) une droite munie d’un repère (O, i→). Pour tout n ∈ IN, on considère les points An et Bn d’abscisses respectives an et bn.
1. Placer les points A0, B0, A1, B1, A2, B2.
2. Soit (un) la suite définie par un = bn − an pour tout n ∈ IN.
Démontrer que (un) est une suite géométrique de raison 1/3 dont on précisera le premier terme.
Exprimer un en fonction de n.
3. Comparer an et bn. Etudier le sens de variation des suites (an) et (bn). Interpréter géométriquement ces résultats.
4. Démontrer que les suites (an) et (bn) sont adjacentes.
5. Soit (vvnn) la suite définie par vvnn = bn + an pour tout n ∈ IN.
Démontrer que (vvnn) est une suite constante. En déduire que les segments [AnBn] ont tous le même milieu I.
6. Montrer que les suites (an) et (bn) sont convergentes et calculer leur limite. Interpréter géométriquement ce résultat.
Correction 1. Calculons les abscisses des points A0, B0, A1, B1, A2, B2. a1 = (1/3)(2a0 + b0) = 3 b1 = (1/3)(a0 + 2b0) = 5 a2 = (1/3)(2a1 + b1) = 11/3 b2 = (1/3)(a1 + 2b1) = 13/3
2. Soit (un) la suite définie par un = bn − an pour tout n ∈ IN. Prouvons que un+1 = (1/3)un.
On a un+1 = bn+1 − an+1 = (1/3)(an + 2bn − 2an − bn) = (1/3)(bn − an) = (1/3)un.
Comme u0 = b0 − a0 = 6, (un) est bien géométrique de raison 1/3 et de premier terme u0 = 6. On a alors un = 6(1/3)n. 3. • Comparons an et bn : ∀ n ∈ IN, bn − an = un > 0 (voir formule précédente) donc bn > an.
• Etudions les variations des suites (an) et (bn) :
→ an+1 − an = (1/3)( 2an + bn) − an = (1/3)(bn − an) = (1/3)un > 0 ∀ n ∈ IN : (an) est croissante.
→ bn+1 − bn = (1/3)( an + 2bn) − bn = (1/3)(an − bn) = − (1/3)un < 0 ∀ n ∈ IN : (bn) est décroissante.
Interprétation géométrique : Pour tout n, [An+1Bn+1] ⊂ [AnBn] (chaque nouveau segment [An+1Bn+1] est une partie du précédent [AnBn]).
4. Pour démontrer que les suites (an) et (bn) sont adjacentes, il faut vérifier que (an) est croissante, (bn) décroissante et limn→+∞ (bn − an) = 0. Seul ce dernier point est à vérifier.
On a bn − an = un : comme 0 < 1/3 < 1, limn→+∞ (1/3)n = 0 donc limn→+∞ un = 0.
Les suites (an) et (bn) sont bien adjacentes.
5. (vvnn) est la suite définie par vvnn = bn + an pour tout n ∈ IN. Prouvons que pour tout n : vn+1 = vvnn (suite constante).
On a vn+1 = bn+1 + an+1 = (1/3)(an + 2bn + 2an + bn) = (1/3)(3bn + 3an) = bn + an = vvnn. (vvnn) est bien constante et ∀ n ∈ IN, vvnn = v0 = b0 + a0 = 8.
Par conséquent, les segments [AnBn] ont tous le même milieu I, en effet :
le milieu de [AnBn] a pour abscisse ½ (an + bn) et ½ ((an + bn) = ½ vvnn = 4 qui ne dépend pas de n.
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6. • Comme les suites (an) et (bn) sont adjacentes, elles sont convergentes et convergent vers la même limite L.
• Résolvons le système : an + bn = 8 bn - an = 6(1/3)n .
En ajoutant, puis en soustrayant ces deux égalités, on obtient bn = 4 + 3(1/3)n et an = 4 − 3(1/3)n.
• Comme limn→+∞ (1/3)n = 0, n→→→+∞→lim∞∞∞ an = 4 = limn→→→→+∞∞∞∞ bn.
On en déduit que les points An et Bn tendent vers une position limite, celle du milieu I d’abscisse 4, milieu de tous les segments [AnBn].
