CALCUL INTEGRAL

CALCUL INTEGRAL

I) Activité

On considère la fonction 𝑓(𝑥) = 3𝑥²− 2𝑥 + 1

1) Déterminer deux fonctions primitives F et G de f sur l ’intervalle [1; 2]

2) Vérifier que F (2) – F (1) = G (2) – G (1)

Le nombre réel F (2) – F (1) est indépendant de la fonction primitive choisit Ce nombre, on l’appelle l’intégrale de f de 1 à 2 et on l’écrit ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₁² et on a

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ₁² = 𝐹(2) − 𝐹(1)

3) Déterminer une fonction primitive de cos puis calculer ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥

𝜋

02

4)

𝑥𝑑𝑥

𝑒

1 𝑒𝑡 ∫₀⁻¹ 𝑒^−𝑥𝑑𝑥

II) Définition

Soit f une fonction continue sur l’intervalle [𝒂; 𝒃] F une fonction primitive de f sur l’intervalle [𝒂; 𝒃]

Le nombre réel F(b)- F(a) est appelé intégrale de f de 𝒂 à 𝒃 𝒅𝒆 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 on le note ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

il se lit

Intégrale de f de 𝒂 à 𝒃 𝒅𝒆 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 et on a : ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

= 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)

Remarque on écrit

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

= [ 𝐹(𝑥) ]

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

Aussi dans cette écriture on peut remplacer la variable x par n’importe qu’elle autre variable : ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

= ∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠

=. . . ..

Exemple calcul des intégrales suivants ∫ ¹

𝑥𝑑𝑥

𝑒²

𝑒 𝑒𝑡 ∫ (2𝑥 +₀² 3)𝑑𝑥

On a

^∫

^𝑑𝑥 = [ 𝑙𝑛(𝑥) ]

= 𝑙𝑛(𝑒

) − 𝑙𝑛(𝑒) = 2 − 1 = 1

Et on a

= [ 𝑥

+ 3𝑥 ]

= (1 + 3) − (0) = 4

Quelques résultats

1) Soit f une fonction continue sur un intervalle[𝑎; 𝑏] ; on a ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑎

𝑒𝑡 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0

𝑎 𝑎 𝑎

𝑏

2) On a ∫ 𝑘 𝑑𝑥 =_𝑎^𝑏 [ 𝑘𝑥 ]^𝑏_𝑎 = 𝑘(𝑏 − 𝑎) ∀ 𝑘 𝜖 𝐼𝑅

3) Soit f une fonction dérivable sur [ 𝑎 ; 𝑏 ] telle que f ‘ soit continue sur ; on a

∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 = [ 𝑓(𝑥) ]_𝑎^{𝑏 𝑏}_𝑎 = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

Exemples

1) ∫⁻ 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥

𝜋

0 3 = − ∫₋ ^0𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥

3

= [ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ]₋ ^0𝜋

3

= 𝑠𝑖𝑛(0) − 𝑠𝑖𝑛(−^𝜋

3) = 𝑠𝑖𝑛(0) + 𝑠𝑖𝑛(^𝜋

3) = ^√3

2

Car sin’(x) = cos(x) autrement 𝑥 → 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑑𝑒 𝑥 → 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

2) ∫ − ₁² _𝑥¹₂𝑑𝑥 = [ ¹_𝑥 ]²₁= ¹₂ − 1 = − ¹₂ Car (¹

𝑥)′ = − ¹

𝑥²

3) ∫ 3𝑑𝑥 =₂⁴ [ 3𝑥 ]⁴₂ = 3.4 − 3.2 = 6 4) ∫ 𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 0₃³

Exercice

Calculer les intégrales suivants ∫ 𝑒₀^{2 𝑥}𝑑𝑥 ; ∫ ¹

𝑥𝑑𝑥

𝑒

1 ; ∫ (𝑥₁^{3 2} + 4)𝑑𝑥 ; ∫₀¹_2𝑥+3² 𝑑𝑥

III) Relation de Chasles – linéarité de l’intégrale

Propriété

Soient f et g deux fonctions définies, continues sur un intervalle I a et b et c deux éléments de I et k un réel

On a ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑐 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑐^𝑏 (relation de Chasles) Et o ∫ (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥_𝑎^𝑏 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏

Et ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 (linéarité de l’intégrale) Exemple

On calcule l’intégrale ∫ |𝑥 − 2|₁³ dx

On sait que 𝑥 − 2 ≤ 0 <=> 𝑥 ≤ 2 et 𝑥 − 2 ≥ 0 <=> 𝑥 ≥ 2 Alors ∫ |𝑥 − 2|₁³ 𝑑𝑥 = ∫ (2 − 𝑥)𝑑𝑥₁² + ∫ (𝑥 − 2)𝑑𝑥₂³

= [2𝑥 −^𝑥2

2]²₁+ [^𝑥2

2 − 2𝑥]³₂

= ( 4 − ¹

2 ) + ( ⁹

2 – 4) = 4

Remarque

On utilise la relation de Chasles soit pour :

* Décomposer une intégrale en une somme de deux ou plusieurs intégrales pour faciliter son calcul.

Ou bien

*écrire une somme d’intégrales sous forme d’une seule intégrale

Exemple

I) On considère les deux intégrales : 𝐴 = ∫

𝑐𝑜𝑠(𝑥)+𝑠𝑖𝑛(𝑥)

𝑑𝑥 𝑒𝑡 𝐵 = ∫

𝑐𝑜𝑠(𝑥) +𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝜋

4

0

𝑑𝑥

𝜋 4

0

Verifier que:

A + B =

4

A – B = [ 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑖𝑛(𝑥)| ]

𝜋 4 0

=

2

𝑙𝑛(2) Déduire la valeur de A et de B

II) On considère l’intégrale 𝐷 = ∫

𝑑𝑥 1) Vérifier que

𝑋² − 4

=

4

(

𝑋 − 2

−

𝑥 + 2

) 2) Déduire que 𝐷 = −

4

𝑙𝑛(3)