PROBL`EME ´Etuded’unes´eriedefonctions EXERCICE2 S´eriesg´en´eratricesenprobabilit´e EXERCICE1 Calculd’uneint´egrale DEVOIRMAISONn 7

DEVOIR MAISON n



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Pour Vendredi 31 Janvier 2020

EXERCICE 1

:

Calcul d’une int´

egrale

On admet que 8 ¸ n1 1 n2  π2

6 et on pose, pour tout tPs0, 8r, fptq  te
t 1
e
t.

Q1. Justifier que la fonction f est int´egrable sur s0, 8r puis, `a l’aide d’un th´eor`eme d’int´egration terme `

a terme, calculer l’int´egrale » ₈

0

t et
₁dt.

EXERCICE 2

:

S´

eries g´

en´

eratrices en probabilit´

e

Si X est une variable al´eatoire `a valeurs dans N de loi de probabilit´e donn´ee par : @n P N, pn P pX  nq, la fonction g´en´eratrice de X est GXptq 

8

¸

n0

pntn.

Q2. D´emontrer que l’intervalle s
1, 1r est inclus dans l’ensemble de d´efinition de la fonction GX.

Soient X1 et X2 deux variables al´eatoires ind´ependantes `a valeurs dans N.

On pose S  X1 X2, d´emontrer que pour tout t Ps
1, 1r, GSptq  GX1ptq.GX2ptq en utilisant le

produit de Cauchy de deux s´eries enti`eres. (Pour les 5/2, le justifier d’une autre fa¸con ! )

On g´en´eralise ce r´esultat, que l’on pourra utiliser dans la question suivante, `a n variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes `a valeurs dans N (on ne demande pas de preuve de cette r´ecurrence). Q3. Un sac contient quatre boules : une boule num´erot´ee 0, deux boules num´erot´ees 1 et une boule

nu-m´erot´ee 2. On effectue n tirages d’une boule avec remise et on note Sn la somme des num´eros tir´es.

D´eterminer pour tout tPs
1, 1r, GSnptq et en d´eduire la loi de Sn. On justifiera soigneusement.

PROBL`

EME

:

Etude d’une s´

´

erie de fonctions

Introduction

Dans ce sujet, une s´erie de fonctions La est une s´erie de fonctions

¸

n¥1

an

xn

1
xn o`upanqn¥1 est une suite

de r´eels telle que la s´erie enti`ere ¸

n¥1

anxnsoit de rayon 1.

Partie I - Propri´et´es

Soit une s´erie de fonctions La:

¸

n¥1

an

xn 1
xn

Q4. Soit xPs
1, 1r, donner un ´equivalent de 1
xn pour n au voisinage de 8. D´emontrer que pour tout xPs
1, 1r, la s´erie ¸

n¥1

an

xn

1
xn converge absolument.

Remarque : la s´erie La peut parfois converger en dehors de l’intervalle s
1, 1r.

Donner un exemple de suitepanqn¥1 telle que la s´erie La converge en au moins un point x0

n’appar-tenant pas `a l’intervalle s
1, 1r.

Q5. D´emontrer que la s´erie de fonctions ¸

n¥1

an

xn

1
xn converge uniform´ement sur tout segment r
b, bs

inclus dans l’intervalles
1, 1r.

Q6. On pose, pour tout xPs
1, 1r, fpxq 

8 ¸ n1 an xn 1
xn.

Justifier que la fonction f est continue sur l’intervalle s
1, 1r et d´emontrer ensuite que la fonction f est de classe C1 _{sur l’intervalles
1, 1r. Donner la valeur de f}1_p0q.

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Pour Vendredi 31 Janvier 2020

Partie II - Exemples

Q7. En utilisant le th´eor`eme de la double limite, ´etablir `a l’aide du d´eveloppement en s´erie enti`ere de la fonction xÞÑ lnp1 xq sur l’intervalle s
1, 1r, la valeur de la somme

8

¸

n1

p
1qn

n . Q8. Dans cette question et la suivante, pour n¥ 1, an p
1qn et pour tout xPs
1, 1r,

fpxq  ¸8

n1

an

xn

1
xn.

En utilisant le th´eor`eme de la double limite calculer lim

xÑ0

fpxq

x et donner un ´equivalent de fpxq au voisinage de 0. Retrouver le dernier r´esultat de la question Q6.

Q9. D´emontrer qu’au voisinage de 1, fpxq 
ln 2 1
x. On pourra remarquer que pour xPs0, 1r, 1
x

1
xn 

1

1 x x2 _{   x}n
1.