Epreuve d’alg` ebre du L3-S5

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Licence de Math´ematiques 2005-2006, premi`ere session

3`eme ann´ee 3 janvier 2006

Epreuve d’alg` ebre du L3-S5

UE 35MATF2, Groupes et Anneaux 1

DUREE: 2 heures

Calculatrices, ordinateurs portables, t´el´ephones mobiles interdits.

Document autorisé: le polycopié du cours, à l’exclusion de tout rajout sur ce polycopié, et de tout autre document.

PREMIER EXERCICE Dans tout l’exerciceG est un groupe ab´elien.

On rappelle que, si H est un sous-groupe de G tel que le groupe quotient G/H soit fini, l’ordre de G/H est appel´e l’indice de H dans G, not´e [G:H].

On fixe un automorphisme σ deG.

Pour tout entier j ≥1, on note σ^j =σ◦σ◦ · · · ◦σ, (j fois).

On suppose queσ est d’ordre finin≥1 (c’est-`a-dire queσⁿ= id_G etσ^j 6= id_G si 0≤j < n).

On d´efinit deux applications f et g deG dans G en posant:

f(a) = a⁻¹σ(a) et g(a) =aσ(a)σ²(a)· · ·σⁿ⁻¹(a) pour tout a∈G.

1) Montrer que f et g sont des morphismes de groupes.

2) Montrer que Img ⊂Kerf et Imf ⊂Kerg.

3) Lorsque les indices [Kerf : Img] et [Kerg : Imf] sont finis, on note : q(G, σ) = [Kerf : Img]

[Kerg : Imf]. Calculer q(G, σ) dans chacun des cas suivants.

(i) Gab´elien fini quelconque, et σ d’ordre fini dans AutG quelconque

(indication: on pourra utiliser pourfet pourgle premier th´eor`eme d’isomorphisme).

(ii) G=C muni de l’addition, et σ l’automorphisme de conjugaison z 7→z

(indication: on veillera `a exprimer sous forme additive les applications f et g).

(iii) G=C^∗ muni de la multiplication, et σ l’automorphisme de conjugaisonz 7→z.

(indication: on v´erifiera en particulier que Kerg = Imf).

.../...

(2)

SECOND EXERCICE On fixe un nombre premier p≥ 3. On pose ω =√

2p∈R. On consid`ere les sous-ensembles suivants de R :

A={a+bω ; a, b∈Z} et K ={x+yω ; x, y ∈Q}.

1) Montrer queω /∈Q. En déduire que tout élément de K s’écrit de fa¸con uniquex+yω avecx, y ∈Q.

2) Montrer que A est un anneau commutatif unitaire int`egre contenant Z, que tout

élément deK s’écrit ^α_β avecα, β ∈A, β 6= 0, et que K est un sous-corps de R.

Soit N l’application K → Q⁺ qui, à un élément quelconque k = x+yω, avec x, y ∈ Q, associe le rationnel N(k) = |x²−2py²|.

3) Montrer que N vérifie les quatre propriétés suivantes : (i) Pour tous k, k⁰ ∈K, N(kk⁰) = N(k)N(k⁰).

(ii) Pour tout a∈A, N(a)∈N.

(iii) Pour tout a∈A, [ N(a) = 1 ]⇔[ a∈U(A) ].

(iv) Pour tout a∈A, [ N(a) = 0 ]⇔[ a= 0 ].

4) On suppose ici que l’anneau A est principal.

(i) Soit k un élément de K tel que k /∈ A ; on pose donc k = ^α_β avec α, β ∈ A et β 6= 0 qui ne divise pas α dans A. Montrer qu’il existe d, a, b, u, v dans A tels que β = da, α = db et d = αu−βv. Montrer que a /∈ U(A) et en déduire que N(a)>1. Montrer que 0< N(d)< N(β).

(ii) Conclure que l’on a la propri´et´e (?) suivante :

pour toutk ∈K tel que k /∈A, il existeu, v ∈A tels que 0< N(ku−v)<1.

5) Soit k = ^ω₂ ∈K.

(i) Montrer que k /∈A.

(ii) On suppose qu’il existe dans A deux ´el´ements u = x+yω et v = z +tω, avec x, y, z, t∈Z, tels que 0 < N(ku−v)<1.

Montrer qu’alors on a : 0<|2(py−z)²−p(x−2t)²|<2.

(iii) Déduire de la double inégalité précédente que : 2z² =±1 dans Z/pZ. 6) On prend p= 5.

(i) Montrer que −1 est un carr´e dans Z/5Z.

(ii) Montrer que, s’il existait z ∈Z/5Z tel que 2z² =±1, alors 2 serait un carr´e dans Z/5Z.

(iii) V´erifier que 2 n’est pas un carr´e dansZ/5Z.

7) Conclure que l’anneau A n’est pas principal lorsque p= 5.

8) (Question suppl´ementaire hors barˆeme).

Conclure de mˆeme que l’anneau A n’est pas principal lorsque p= 13.

(3)

Licence de Math´ematiques 2005-2006, seconde session

3`eme ann´ee 19 juin 2006

Epreuve d’alg` ebre du L3-S5

DUREE: 2 heures

PREMIER EXERCICE

On fixekun corps commutatif et on considère le groupe linéaire GL₃(k) des matrices carrées

`

a trois lignes et trois colonnes `a coefficients dansk qui sont inversibles. On note:

G=₁_{a c}

0 1b 0 0 1

; a, b, c∈k , H =_{1 0}_c

0 1b 0 0 1

; b, c∈k , K =₁_a₀

0 1 0 0 0 1

; a∈k . 1) Montrer que Gest un sous-groupe non ab´elien de GL₃(k).

2) Montrer que :

a) H est un sous-groupe ab´elien de G, isomorphe au groupe additif k×k, normal dans G, et tel que G/H est isomorphe au groupe additif k ;

b) K est un sous-groupe ab´elien de G, isomorphe au groupe additif k, et qu’il n’est pas normal dansG ;

c) G=HK =KH avecH∩K ={Id₃}; que peut-on en d´eduire ? Le groupe Gest-il le produit direct de ses sous-groupes H et K ?

3) Déterminer le centre Z(G) du groupe G. Montrer que G/Z(G) est isomorphe au groupe additif k×k. [Indication: considérer f :G→k×k définie par f(₁_{a c}

0 1b 0 0 1

) = (a, b).]

4) Montrer que, quels que soient x, y ∈ G, le commutateur [x, y] =x⁻¹y⁻¹xy appartient à Z(G). En déduire le groupe dérivéD(G) de G.

5)On prend ici k=C le corps des nombres complexes. Déterminer l’ensemble des éléments deG qui sont d’ordre fini.

6) On prend icik=F2 =Z/2Z={0,1} le corps à deux éléments.

a) Montrer que G est un groupe fini ; quel est son ordre ? b) Montrer que G est isomorphe au groupe di´edral D₄.

[Indication: considérer dans G les deux éléments: r = 1 1 1

0 1 1 0 0 1

et s= 1 1 0

0 1 0 0 0 1

].

.../...

(4)

SECOND EXERCICE

On fixe un nombre premier p. On consid`ere dans le corps Q des nombres rationnels le sous-ensemble:

A ={ a

b ; a ∈Z, b ∈Z, b 6≡0 modulop }.

1) Montrer que A est un sous-anneau de Q.

2) Déterminer le groupe U(A) des éléments de A inversibles dans A.

3) Pour tout m∈Z, on pose I_m ={ a

s ; a∈mZ, s∈Z, s6≡0 modulo p }.

a) Montrer que, pour tout m∈Z, Im est un id´eal de A.

b) Montrer que, pour toutm∈Z non-nul, il existe n∈N etq ∈Znon divisible par ptels que m =pⁿq ; vérifier qu’alorsI_m est égal à l’idéal principal pⁿA.

c) Montrer que, pour tout idéal I deA, il existe m∈Z tel que I =Im. [Indication: on pourra considérer l’idéal I∩Z deZ].

d) En déduire que A est un anneau principal, et que l’ensemble de tous les idéaux deA est donné par la suite infinie:

{0} ⊂. . .⊂pⁿ⁺¹A⊂pⁿA⊂. . .⊂p²A⊂pA⊂A

e) Déterminer les idéaux maximaux de A. Déterminer les idéaux premiers de A.

4) Déterminer l’ensemble des éléments irréductibles de l’anneau A.

5) Montrer que, pour tout n ∈ N^∗, l’anneau quotient A/pⁿA est isomorphe `a l’anneau Z/pⁿZ.

[Indication: on considère l’application h = j ◦ p, où p est la surjection canonique A → A/pⁿA et où j : Z → A est l’injection canonique définie par j(x) = ^x₁ ; vérifier que h est surjective et déterminer son noyau].

Retrouver ainsi le r´esultat de la question 3.e.

(5)

Epreuve d’alg` ebre du L3-S5

DUREE: 2 heures

Le problème est constitué de trois parties ; les parties I et II sont indépendantes, la partie III utilise les parties I et II. On pourra admettre si nécessaire le résultat d’une question pour traiter les suivantes.

Dans tout le problème, on désigne par Al’anneauZ[i] des entiers de Gauss Z[i]. On rappelle que les éléments deAsont les nombres complexes de la formez =a+ibavecaetbdes entiers, que A est un sous-anneau de C contenant Z comme sous-anneau, que A est principal car euclidien, et que le groupe des unités deAestU(A) ={1,−1, i,−i}. On noteN l’application A→N qui, à un élément quelconque z ∈A, associe l’entier naturel N(z) = zz.

Partie I.

1) Montrer que tout élément z de A tel que N(z) est un nombre premier est irréductible dans A.

2) On note Σ l’ensemble des entiers naturels qui sont sommes de deux carr´es d’entiers naturels (n ∈Σ lorsquen ∈Net il existe a, b∈N tels que n =a² +b²).

a) Montrer que, pour tout n ∈N, on a : ( n≡3 modulo 4 ) ⇒ (n /∈Σ ).

b) Montrer que Σ est stable par multiplication (indication: on pourra utiliser l’application N :A→N).

c) Soit pun nombre premier. Montrer que, en considérant pcomme élément de l’anneau A, on a:

( pirr´eductible dans A ) ⇔( p /∈Σ ) Partie II.

3) Soit G un groupe quelconque, que l’on suppose fini d’ordre pair. Montrer qu’il existe nécessairement dans G au moins un élément d’ordre 2 (indication: on pourra montrer que l’appplication x→x⁻¹ fixe un nombre pair d’éléments de G).

4) Soit p nombre premier, p ≥ 3. On note Fp le corps Z/pZ = {0,1,2, . . . , p−1} et F^∗p ={1,2, . . . , p−1} le groupe multiplicatif des unit´es de Fp.

(6)

a) Déterminer les éléments d’ordre 2 du groupe F^∗p.

b) Montrer que l’ensemble G_p des éléments de F^∗p qui sont des carrés dans F^∗p est un sous-groupe de F^∗p.

c) En consid´erant le morphisme de groupe x 7→ x² de F^∗p dans F^∗p, montrer que G_p est d’ordre (p−1)/2.

d) En d´eduire en utilisant la question 3) que :

(p≡1 modulo 4 ) ⇔ (−1∈G_p )

Partie III.

5) Soit p un nombre premier. Dans l’anneau de polynômes Fp[X], on considère l’idéal principal (X² + 1)F^p[X] engendré par le polynôme X² + 1, et l’on note π la surjection canoniqueFp[X]→Fp[X]/(X²+ 1)Fp[X].

a) Justifier que Fp[X] est euclidien ; en déduire que, pour tout polynôme P de Fp[X], il existe un polynôme R de degré ≤1 dans Fp[X] tel que π(P) =π(R) (on pourra faire la division euclidienne de P par X²+ 1).

b) On consid`ere l’application ϕ:A →Fp[X] qui, `a tout z =a+ib avec a, b∈ Z, associe ϕ(z) = a+bX. Montrer que π◦ϕest un morphisme d’anneaux.

c) Montrer que π◦ϕ est surjective, et que le noyau de π◦ϕ est égal à l’idéal principal pA engendré par p dans A.

d) En d´eduire que l’on a l’isomorphisme d’anneaux A/pA'Fp[X]/(X²+ 1)Fp[X].

e) En déduire quepest irréductible dansA si et seulement siX²+ 1 est irréductible dans Fp[X].

f ) Conclure, en utilisant les questions pr´ec´edentes, que pour tout nombre premier p≥3, on a:

( pnon irr´eductible dans A ) ⇔ (−1∈Gp )⇔ ( p≡1 modulo 4 ) ( pirr´eductible dans A ) ⇔( p /∈Σ ) ⇔ ( p≡3 modulo 4 )

6) Caractérisation des éléments irréductibles de l’anneau des entiers de Gauss.

En synthétisant les résultats obtenus au cours du problème, démontrer qu’un élément quelconque deA =Z[i] est irréductible dans A si et seulement s’il est associé

- soit `a un nombre premier p tel que p≡3 modulo 4,

- soit à un élément a+ib avec a, b∈Z tels que a²+b² soit un nombre premier.

7) Caract´erisation des entiers naturels qui sont somme de deux carr´es.

Soit n un entier ≥ 2 quelconque. On note n = p^α₁¹p^α₂²· · ·p^α_s^s sa décomposition en produit de facteurs premiers, avec p₁, p₂, . . . , p_s des nombres premiers distincts et α_i ≥ 1 pour tout 1≤i≤s. En utilisant les résultats obtenus au cours du problème, montrer que n∈Σ si et seulement si α_i est pair pour tout 1≤i≤s tel que p_i ≡3 modulo 4.

(7)

Epreuve d’alg` ebre du L3-S5

DUREE: 2 heures

Les exercices I et II sont indépendants. On pourra admettre si nécessaire le résultat d’une question pour traiter les suivantes.

Exercice I.

1)Première question préliminaire. On rappelle que l’on appelle indicatrice d’Euler l’application ϕ : N^∗ → N^∗ définie par ϕ(1) = 1 et, pour tout n ≥ 2, ϕ(n) est le nombre d’entiers tels 1≤k≤n−1 et k est premier avec n.

Soit n ≥1 un entier et Cn le groupe cyclique d’ordren.

a) Montrer que, pour tout diviseur d de n dans N^∗, il existe exactement ϕ(d) éléments d’ordre d dans Cn (indication: on pourra considérer le sous-groupe engendré par l’un quelconque d’entre eux).

b) En d´eduire que, en notantDnl’ensemble des diviseurs positifs den, on a : n = P

d∈Dn

ϕ(d).

2) Seconde question préliminaire. Soit K un corps commutatif. Soit d ∈ N^∗. Montrer que tout polynôme de degréd dans K[X] admet au plus d racines dans K.

3) Le r´esultat principal. L’objet de cette question est de d´emontrer que :

tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif des éléments non-nuls d’un corps commutatif est nécessairement cyclique.

On fixe donc K un corps commutatif, et l’on note K^∗ le groupe multiplicatif des éléments inversibles dans K, c’est-à-dire des éléments non nuls de K.

Soit G un sous-groupe fini de K^∗. On note n =|G| l’ordre de G.

Pour tout diviseur d de n dans N^∗, on note E_d = {x ∈ G;x^d = 1} et Γ_d l’ensemble des

´

el´ements deG d’ordred.

a) Quelle relation d’inclusion a-t-on entre les ensembles E_d et Γ_d ? Est-ce une inclusion stricte ? Les ensembles E_d et Γ_d sont-ils des sous-groupes de G ?

(8)

b) Montrer que, pour tout diviseur d de n et tout élément x∈ Γ_d, le sous-groupe hxi de G engendré par x est égal à E_d (on pourra utiliser la question préliminaire 2).

c) Montrer que, sidest un diviseur dentel que Γ_dest non vide, alors le nombre d’éléments de Γ_d est égal à ϕ(d).

d) En utilisant la question pr´eliminaire 1), en d´eduire que Γ_d est non vide quel que soit le diviseurd de n ; conclure que Gest cyclique.

4) Un exemple numérique. Expliciter un isomorphisme de groupes entre le groupe multiplicatif{e1,e2,e3,e4}des éléments non-nuls du corpsZ/5Z, et le groupe cycliqueZ/4Z={0,1,2,3}

muni de l’adddition.

5) Un contre-exemple lorsque K n’est plus un corps. Déterminer le groupe multiplicatif G = U(Z/16Z) des éléments inversibles de l’anneau Z/16Z. Calculer l’ordre dans G de chacun des éléments de G; montrer queG ne contient pas d’éléments d’ordre 8 ; en déduire que Gn’est pas cyclique.

6) On fixe ici K =C. Pour tout entiern ≥1, on note R(n) ={z ∈C; zⁿ= 1}. On fixe un nombre premier p, et l’on pose H_p =S

k∈NR(p^k).

a) Montrer que, sim etn sont deux entiers tels que 0≤m ≤n, alors R(p^m)⊆R(pⁿ).

b) Justifier que, pour tout k∈N, il existe x_k ∈C^∗ tel que R(p^k) = hx_ki c) Montrer que H_p est un sous-groupe de C^∗. Est-il fini ?

d) Soit G un sous-groupe de H_p que l’on suppose distinct de H_p.

(i) Montrer que l’ensemble {x_k;k ∈N} n’est pas inclus dans G. En notant n+ 1 le plus petit entier tel quex_n+1 ∈/ G, montrer que R(pⁿ)⊆G.

(ii) Soit g ∈G quelconque. Montrer qu’il existe m ∈N^∗ etj ∈N non divisible parp tel queg =x^j_m. Montrer qu’il existe alors des entiers rets tels quejr+p^ms = 1.

Montrer quex_m =x^jr_m =g^r. En d´eduire que m≤n, puis que g ∈R(pⁿ).

(iii) Conclure que G=R(pⁿ).

Exercice II.

Soit A un anneau unitaire commutatif int`egre. On note K son corps de fractions.

On fixe a∈A, a6= 0.

1) Montrer que B ={_a^bn ;b ∈A, n∈N} est un sous-anneau de K contenant A.

2) On considère le morphisme de substitution f : A[X] → K défini par f(X) = a⁻¹. En d’autres termes, à tout polynômeP(X) =Pn

i=0ciXⁱ, on associe l’´el´ementf(P) =Pn

i=0cia⁻ⁱ deK.

Montrer que Imf =B, et que Kerf =I où l’on a posé I = (1−aX)A[X] l’idéal principal engendré par 1−aX dans A[X].

3) En déduire que I est un idéal premier de A[X], et que B est isomorphe à A[X]/I.

4) On prend ici A= Z. Que vaut alors K ? Montrer que B n’est pas un sous-corps de K.

En d´eduire une nouvelle preuve du fait que Z[X] n’est pas un anneau principal.

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Licence de Math´ematiques 2007-2008, seconde session

3`eme ann´ee 1er juillet 2008

Epreuve d’alg` ebre du L3-S5

UE 35MATF2, Groupes et Anneaux 1 DUREE: 2 heures

Les différents exercices sont indépendants. On pourra admettre si nécessaire le résultat d’une question pour traiter les suivantes.

Exercice I.

Pour tout couple (a, b)∈R^∗×R, on notef_a,b:R→Rl’application d´efinie parf_a,b(x) = ax+b pour tout x∈R.

a) Montrer que G= {f_a,b; a ∈R^∗, b ∈R} est un sous-groupe non ab´elien du groupe S_R des bijections deR surR.

b) Montrer que T = {f_1,b; b ∈ R} est un sous-groupe normal de G et que G/T est isomorphe au groupe multiplicatif R^∗. (Indication: on pourra pour cela construire explicitement un morphisme de groupes G→R^∗ surjectif et de noyau T).

Exercice II.

On considère l’anneau A =Z[X] des polynômes en une indéterminée X à coefficients dans Z. Pour tout entier m ≥ 0, on note I_m = mA+XA l’idéal engendré par m et X dans l’anneau A.

1) Premi`ere question.

a) D´eterminer I₀ etI₁.

b) D´eterminer l’ensemble des valeurs de m pour lesquelles on a Im6=A.

c) D´eterminer l’ensemble des valeurs de m pour lesquelles l’id´eal I_m est principal.

2) Seconde question. Soit m un entier positif ou nul.

Tout élément a∈Z est en particulier un élément de A=Z[X] (c’est un polynôme réduit à son terme constant) et on peut donc lui associer sa classe a dans l’anneau quotient A/I_m. On note h(a) = a et on définit ainsi une applicationh :Z→A/I_m.

a) D´eterminer le noyau de h.

b) Montrer que h est surjective.

c) En d´eduire que A/I_m est isomorphe `a Z/mZ.

d)En déduire l’ensemble des valeurs dempour lesquelles l’idéalI_mpremier et l’ensemble des valeurs de m pour lesquelles l’idéal I_m est maximal.

.../...

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Exercice III.

On fixe un entiern≥3 et l’on considère l’ensembleZ/2nZ={0,1,2, . . . ,2n−1}des classes de congruences modulo 2n. On introduit le sous-ensemble S = {0,2,4. . . ,2n−2} formé des classes des entiers pairs et le sous-ensemble T ={0,1}. On définit enfin sur l’ensemble Z/2nZ une loi de composition interne ? par:

u ? v =u+ (−1)^uv pour tous u, v ∈G.

a) Montrer que la loi ? est bien d´efinie, et exprimer u ? v en fonction de u+v et u−v suivant la parit´e de u.

b) Montrer que la loi ? munit l’ensemble Z/2nZ d’une structure de groupe non ab´elien d’ordre 2n. On noteraG le groupe (Z/2nZ, ?) ainsi d´efini.

c) Montrer que S est un sous-groupe normal d’ordre n de G, et que tout élément de G n’appartenant pas àS est d’ordre 2.

d) Montrer que T est un sous-groupe d’ordre 2 de G et que l’on a : G=S ? T =T ? S.

e) A quel groupe classique bien connu le groupe G est-il isomorphe ?

Exercice IV.

Soit A un anneau commutatif.

On note U(A) le groupe multiplicatif des ´el´ements deA inversibles dans A.

Un ´el´ement x∈A est dit nilpotent s’il existen ∈N^∗ tel que xⁿ = 0.

On note I(A) l’ensemble des ´el´ements nilpotents deA.

a) Soient x∈I(A) et a∈A. Montrer queax∈I(A).

b) Soient x, y ∈I(A) et n, m∈N^∗ tels que xⁿ=y^m = 0. Montrer que (x+y)^n+m = 0.

c) En utilisant a) et b) montrer que I(A) est un id´eal de A

d) Soient a∈I(A) et u∈U(A). Montrer que 1 +a et u+a sont des ´el´ements de U(A).

e) Montrer qu’un polynôme P(X) = a_nXⁿ +a_n−1Xⁿ⁻¹ +· · · +a₀ est nilpotent dans l’anneau A[X] si et seulement si ses coefficients a_n, an−1, . . . , a₀ sont nilpotents dans A. (Indication: on pourra raisonner par récurrence sur le degré deP en considérant le polynôme Q tel que P =QX +a₀).