EXAMEN DU 10 juin 2013 – LM347 (Programme : parties I, II, III et IV)
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Exercice 1.
Soit σ > 0, c > 0, et un échantillon X1, . . . , Xn de loi de densité f(x) = xce−(logx)2/(2σ2), pour x ∈]0,∞[, et 0 sinon. On note X= (X1· · ·Xn)0. Toutes les intégrales rencontrées peuvent se calculer en utilisant le changement de variables u= logx qui conduit à des intégrales vues dans le cours.
i) – Calculer la valeur dec en fonction deσ.
ii) – Calculer EX1 et proposer un estimateur de σ2 obtenu par la méthode des moments.
iii) – Calculer la densité fX(x, σ2) du v.a. X et le logarithme de la vraisemblance de X.
iv) – Trouver l’estimateur σˆ2 du maximum de vraisemblance de σ2. v) – Calculer la moyenne et la variance de la variable(logX1)2. vi) – Montrer la normalité asymptotique de σˆ2.
vii) – En les calculant, montrer que les deux expressions de l’information de Fisher I(σ2) de l’échantillonX1, . . . , Xn sont identiques.
viii) – Préciser avec des explications siσˆ2 est asymptotiquement efficace.
Exercice 2.
Soit n = 6 et le modèle de régression linéaire X1 = m1 +1, X2 = m1+2, X3 = m2 +3, X4 =m2+4,X5 =m3+5, X6 =m3+6, avec m1, m2, m3, des paramètres réels, et 1, . . . , n des v.a.i.i.d. de loi N(0,σ2) oùσ2 est un paramètre réel strictement positif.
i) – Ecrire le modèle sous la forme X =Aθ +, θ∈R3. Le modèle linéaire déterministe associé X˜ =Aθ est-il régulier ?
ii) – Calculer les matrices A0A et (A0A)−1.
iii) – Résoudre le problème de moindres carrés associé au modèle de régression linéaire X˜ =Aθ.
iv) – Ecrire en le justifiant la vraisemblance de X.
v) – En partant de la vraisemblance, calculer les estimateurs du maximum de vraisemblance ˆ
m1,mˆ2,mˆ3,σˆ2, des paramètresm1, m2, m3, σ2. On vérifiera les conditions d’existence.
vi) – Préciser la loi demˆ1−mˆ2 et celle de σˆ2.
vii) – Construire un intervalle de confiance pour le paramètre m1 −m2 de degré de confiance 95%.
viii) – Proposer en le justifiant un test de l’hypothèse m1 =m2 d’erreur de première espèce 5%.
Exercice 3.
Soit 1 ≤ ` < n deux entiers naturels fixés, yi = 1 pour i ∈ {1, . . . , `} et yi = 2 pour i ∈ {` + 1, . . . , n}. On considère le modèle de régression linéaire Xi = ayi + b + i, pour i ∈ {1, . . . , n}, avec a, b des paramètres réels, et 1, . . . , 5 des v.a.i.i.d. de loi N(0,σ2) où σ2 est un paramètre réel strictement positif.
i) – Ecrire le modèle sous la forme X = Aθ+, θ∈R2, et montrer que le modèle linéaire déter- ministeX˜ =Aθ est régulier.
ii) – Calculer A0A et(A0A)−1.
iii) – En déduire les estimateurs du maximum de vraisemblance ˆa,ˆb,σˆ2, des paramètres a, b, σ2, en précisant quand ils existent.
iv) – Calculer la loi du vecteur(ˆaˆb)0. v) – En déduire la loi de 3ˆa+ ˆb.
vi) – Construire un intervalle de confiance pour la quantité3a+b.
