EXAMEN DU 22 JUIN 2012 – LM347 (Programme : parties I, II, III, IV et V) Durée 2h - Aucun document - Pas de calculette
Exercice 1.
Soit σ2 > 0, c > 0, et un échantillon X1, . . . , Xn de loi de densité f(x) = ce−x2/(2σ2) pour x∈]0,∞[, et 0 sinon. On note X= (X1· · ·Xn)0.
i) – Calculer la valeur de la constantec(vous pouvez vous ramener à la densité de la loiN(0, σ2), puisque cette densité est une fonction paire).
ii) – Calculer la valeur de EX1 et proposer un estimateur σe2 de σ2 obtenu par la méthode des moments.
iii) – CalculerE(X12)(vous pouvez utiliser le même argument que celui utilisé pour résoudre i)).
iv) – En déduire que l’estimateur σe2 est asymptotiquement normal, et donner sa loi limite.
v) – Calculer la densité fX(x, σ2) du v.a. X et le logarithme de la vraisemblance de X.
vi) – Trouver, en le justifiant proprement, l’estimateurσb2 du maximum de vraisemblance deσ2. vii) – En admettant que V(X12) = 2σ4, en déduire que σb2 est asymptotiquement normal, et donner sa loi limite.
viii) – Calculer l’information de Fisher I(σ2) de l’échantillon X1, . . . , Xn, et relier le résultat obtenu avec les deux résultats obtenus en iv) et vii).
Exercice 2.
Soity1 = 2, y2 = 1, y3 = 0, y4 =−1, y5 = 1, et le modèle de régression linéaireXi =ayi+b+i, pouri∈ {1, . . . ,5}, aveca, bdes paramètres réels, et1, . . . , 5 des v.a.i.i.d. de loiN(0,σ2)oùσ2 est un paramètre réel strictement positif.
i) – Ecrire le modèle sous la forme X = Aθ+, θ∈R2, et montrer que le modèle linéaire déter- ministeX˜ =Aθ est régulier.
ii) – Calculer les matrices A0A et (A0A)−1.
iii) – Résoudre le problème de moindres carrés associé au modèle de régression linéaire X˜ =Aθ.
iv) – Ecrire la vraisemblance deX.
v) – Trouver les estimateurs du maximum de vraisemblance a,ˆ ˆb,σˆ2, des paramètres a, b, σ2, lorsque X1 = 0,9, X2 = 0,1, X3 = −1,1, X4 =−2,1, X5 = 0,2 (on commencera par donner la formule théorique).
vi) – En partant de l’expression de ˆa, calculer la loi de ˆa, et rappeler celle deσˆ2.
vii) – Construire un intervalle de confiance pour le paramètre a de degré de confiance 95%, on admettra que P(|T| ≤3,182)≈95% lorsque T suit la loi de Student T3.
viii) – Proposer en le justifiant un test de l’hypothèse a= 1 d’erreur de première espèce 5% en indiquant la conclusion pratique du test.
Exercice 3.
Quatre points du plan ont pour coordonnées, pour α >0 etβ >0vérifiant α2+β2 = 1 :
point C1 C2
1 1 0
2 −1 0
3 α β
4 −α −β
i)−Calculer la matrice de variance-covariance empirique CX.
ii)−Calculer l0inertie du nuage de points associ´ee au tableau de donn´ees.
iii)−Compl´eter la diagonalisation de CX (utiliser l0aide).
iv)−Calculer les composantes principales de l0ACP surCX.
v)−Repr´esenter les points et les axes principaux dans le plan de d´epart.
vi)−Calculer les nouvelles coordonn´ees du point suppl´ementaire (1,1).
Aide :la matrice de variance-covariance admet comme vecteur propre
−β 1 +α
.
