TS : TD sur la fonction exponentielle (1)
I
Simplifier les expressions suivantes : A= exe−x
B= eex C= (e−x)2 D= D= e2x
e2−x E= (ex)3
e2x
II
Résoudre les équations suivantes : 1. e−x= −1
2. e3x+1=p e
III
Résoudre les inéquations suivantes :ex2−2É 1 ex
IV
On appellef la fonction définie surRpar f(x)=2e−x+2x−4.
On noteC sa courbe représentative.
1. Déterminer les limites def en−∞et en+∞.
2. Démontrer que la droite∆d’équationy=2x−4 est asymp- tote àC.
Étudier la position relative deC et de∆.
3. Calculer la dérivée def et étudier les variations def. Don- ner son tableau de variations.
4. Tracer la courbeC.
V
Soit la fonctionf définie sur [0 ;+∞[ par f(x)=xe−2x+x−1.
1. Déterminerf′(x).
2. (a) Résoudre dansRl’inéquationf′(x)>1.
(b) Étudier le sens de variation de la fonctionf′. (c) Calculerf′(1) ; en déduire le signe def′(x).
3. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une unique solu- tionαdans [0 ; 2] dont on donnera une valeur approchée à 10−2près.