EXAMEN DU 18 JUIN 2009 – LM347 (Programme : parties I, II, III, IV et V) Durée 2h - Aucun document - Pas de calculette

EXAMEN DU 18 JUIN 2009 – LM347 (Programme : parties I, II, III, IV et V) Durée 2h - Aucun document - Pas de calculette

Exercice 1.

Cinq points du plan ont pour coordonnées, pour α et β >0 vérifiantα²+β² = 1 :

point C1 C2

1 0 1

2

√ 3 2 −¹₂

3 −

√ 3

2 −¹

2

4 α β

5 −α −β

i)−Calculer la matrice de variance-covariance empirique CX. ii)−Calculer la valeur propre de CX associ´ee au vecteur propre

α

β

. iii)−Trouver l⁰autre axe principal et l⁰autre valeur propre de CX.

iv)−Calculer l⁰inertie du nuage de points associ´ee au tableau de donn´ees.

v)−Calculer les composantes principales de l⁰ACP sur CX. vi)−Pour α=β=^√1

2,repr´esenter les points dans le plan des axes principaux.

vii)−Dans ce plan,repr´esenter le point suppl´ementaire de cordonn´ees (1,0).

viii)−Calculer le pourcentage d⁰inertie expliqu´ee par le premier axe principal.

Aide :la matrice de variance-covariance est proportionnelle à la matriceA=

3 + 4α² 4αβ 4αβ 3 + 4β²

.

Exercice 2.

Dans cet exercice le paramètre α est strictement positif. Soit un échantillon X₁, . . . , X_n de loi de ParetoPa(1, α), de densitéf(x) =α x^−(α+1) pourx >1et0sinon. On noteX = (X₁· · ·X_n)⁰. i) – Montrer que f est bien une densité de probabilité.

ii) – Pour `∈ {1,2}, calculer E(X<sub>1</sub><sup>`</sup>) quandα > `; on précisera ce qui se passe quand0< α≤`.

iii) – Pourα >1, proposer un estimateur de α obtenu par la méthode des moments.

iv) – Calculer la densité f_X(x, α) du v.a. X et le logarithme de la vraisemblance de X.

v) – Montrer que l’estimateur αˆ du maximum de vraisemblance de α est égal à 1/m(logX).

vi) – Pour `∈ {1,2}, calculer E((logX1)<sup>`</sup>) quand α >0.

vii) – Montrer que m(logX) est asymptotiquement normal et calculer sa loi limite.

viii) – Montrer que αˆ est asymptotiquement normal et calculer sa loi limite.

Exercice 3.

Soit y₁, . . . , y_n des valeurs réelles connues et le modèle de régression linéaireX_i =ay_i+b+_i pour i ∈ {1, . . . , n}, avec a, b des paramètres réels, et ₁, . . . , _n des v.a.i.i.d. de loi N(0,σ²) où σ² est un paramètre réel strictement positif.

Soit aussi α 6= β deux réels et ` ∈ {1, . . . , n − 1}. On suppose alors que n ≥ 2, que

`α+ (n−`)β= 0, et enfin que y₁ =· · ·=y_{`</sub> =α et que y<sub>`+1} =· · ·=y_n =β.

i) – Ecrire le modèle sous la formeX =Aθ+,θ∈R²et montrer que le modèle linéaire déterministe X˜ =Aθ est régulier.

ii) – Montrer que la matrice A⁰A est diagonale et calculer (A⁰A)⁻¹.

iii) – Résoudre le problème de moindres carrés associé au modèle de régression linéaire X˜ =Aθ.

iv) – Ecrire la vraisemblance deX.

v) – Trouver les estimateurs du maximum de vraisemblanceˆa,ˆb,σˆ²des paramètresa, b, σ² lorsque n >2.

vi) – Calculer la loi deˆb et celle de σˆ².

vii) – Construire un intervalle de confiance pour le paramètre b de degré de confiance 95%.

viii) – Proposer un test de l’hypothèseb = 0 d’erreur de première espèce 5%.

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