EXAMEN DU 21 MAI 2013 – LM347 (Programme : parties I, II, III et IV)
Durée 2h - Aucun document - Pas de calculette
Exercice 1.
Soit a > 0, c > 0, et un échantillon X1, . . . , Xn de loi de densité f(u) = ce−au2 pour u∈ R. On note X= (X1· · ·Xn)0.
i) – Calculer la valeur de la constante cen fonction dea (vous pouvez vous ramener à la densité d’une loi normale).
ii) – Calculer E(X12) (vous pouvez utiliser le même argument que celui utilisé pour résoudre i)).
iii) – En notant σˆ2 =v(X) la variance empirique de X, proposer un estimateur ea de a obtenu par la méthode des moments.
iv) – En se rappelant que σˆ2 est asymptotiquement normal de loi limite la loi N(0,2σ4), en déduire que l’estimateurea est asymptotiquement normal et donner sa loi limite.
v) – Calculer la densité fX(x, a) du v.a. X et le logarithme de la vraisemblance de X.
vi) – Trouver, en le justifiant proprement, l’estimateurba du maximum de vraisemblance de a.
vii) – Montrer que l’estimateurba est asymptotiquement normal et donner sa loi limite.
viii) – Calculer l’information de Fisher et montrer que les estimateursba eteasont asymptotique- ment efficaces.
Exercice 2.
Soitn1 etn2 deux entiers supérieurs ou égaux à1. Considérons le modèle de régression linéaire Xi = m1+i, pour i∈ {1, . . . , n1}, Xi = m2 +i, pour i ∈ {n1+ 1, . . . , n1+n2}, avec m1, m2 des paramètres réels, et 1, . . . , n1+n2 des v.a.i.i.d. de loi N(0,σ2) où σ2 est un paramètre réel strictement positif. On posera n =n1+n2 dans ce qui suit.
i) – Ecrire le modèle sous la forme X = Aθ +, θ∈R2, le modèle linéaire déterministe associé X˜ =Aθ est-il régulier ?
ii) – Calculer les matrices A0A et (A0A)−1.
iii) – Résoudre le problème de moindres carrés associé au modèle de régression linéaire X˜ =Aθ.
iv) – Ecrire la vraisemblance deX.
v) – Calculer les estimateurs du maximum de vraisemblancemˆ1,mˆ2,σˆ2, des paramètresm1, m2, σ2, en précisant bien pour quelles valeurs de n1 etn2 ils existent.
On supposera ces conditions vérifiées par la suite.
vi) – Préciser la loi demˆ1 et celle deσˆ2.
vii) – Construire un intervalle de confiance pour le paramètre m1 de degré de confiance 95%.
viii) – Proposer en le justifiant un test de l’hypothèsem1 = 1 d’erreur de première espèce 5%.
Exercice 3.
Soity1 = 1, y2 = 0, y3 = 0, y4 =−1, y5 = 1, et le modèle de régression linéaireXi =ayi+b+i, pouri∈ {1, . . . ,5}, aveca, bdes paramètres réels, et1, . . . , 5 des v.a.i.i.d. de loiN(0,σ2)oùσ2 est un paramètre réel strictement positif.
i) – Ecrire le modèle sous la forme X = Aθ+, θ∈R2, et montrer que le modèle linéaire déter- ministeX˜ =Aθ est régulier.
ii) – Reconnaître un modèle présenté en cours et en déduire la solution du problème de moindres carrés associé au modèle de régression linéaireX˜ =Aθ.
iii) – Toujours par le cours en déduire les estimateurs du maximum de vraisemblancea,ˆ ˆb,σˆ2, des paramètres a, b, σ2, lorsque X1= 2,1, X2= 0,9, X3= 1,1, X4= 0,1, X5= 1,9 (on commencera par établir la formule théorique).
iv) – Calculer la loi du vecteur de coordonnées ˆa etˆb.
v) – Pour z ∈R fixé, en déduire la loi de la “prédiction” ˆaz+ ˆb.
vi) – Construire un intervalle de confiance pour la quantitéaz+b.
