EXAMEN DU 1 JUIN 2012 – LM347 (Programme : parties I, II, III, IV et V) Durée 2h - Aucun document - Pas de calculette
Exercice 1.
Soit a > 0 et un échantillon X1, . . . , Xn de loi de densité f(x) = axa−1, pour x ∈]0,1[, et 0 sinon. On note X= (X1· · ·Xn)0.
i) – Montrer que f est bien une densité de probabilité.
ii) – Calculer la valeur de EX1 et proposer un estimateur de a obtenu par la méthode des moments.
iii) – Calculer la densité fX(x, a) du v.a. X et le logarithme de la vraisemblance de X.
iv) – Trouver l’estimateur ˆa du maximum de vraisemblance de a.
v) – Déterminer la densité de la variable logX1. vi) – Calculer E((logX1)k) pourk ∈ {1,2}.
vii) – En déduire que ˆa est asymptotiquement normal, et donner sa loi limite.
viii) – Calculer les deux formes de l’information de Fisher I(a) de l’échantillon X1, . . . , Xn et montrer qu’elles sont égales.
Exercice 2.
Soit y1, . . . , yn et z1, . . . , zn des valeurs réelles connues et le modèle de régression linéaire Xi = ayi +bzi +c+i, pour i ∈ {1, . . . , n}, avec a, b, c des paramètres réels, et 1, . . . , n des v.a.i.i.d. de loiN(0,σ2) oùσ2 est un paramètre réel strictement positif.
On suppose alors que n≥3, et que y1+· · ·+yn =z1 +· · ·+zn=y1z1+· · ·+ynzn = 0.
i) – Ecrire le modèle sous la formeX=Aθ+,θ∈R3, et indiquer sous quelles conditions le modèle linéaire déterministe X˜ =Aθ est régulier. On supposera ces conditions vérifiées par la suite.
ii) – Calculer les matrices A0A et (A0A)−1.
iii) – Résoudre le problème de moindres carrés associé au modèle de régression linéaire X˜ =Aθ.
iv) – Ecrire la vraisemblance deX.
v) – Trouver les estimateurs du maximum de vraisemblance ˆa,ˆb,ˆc,σˆ2, des paramètresa, b, c, σ2, en précisant pour quelles valeurs de n ils existent.
vi) – Préciser la loi deˆa et celle de σˆ2.
vii) – Construire un intervalle de confiance pour le paramètre a de degré de confiance 95%.
viii) – Proposer en le justifiant un test de l’hypothèsea = 0 d’erreur de première espèce 5%.
Exercice 3.
Six points du plan ont pour coordonnées, pourα >0 etβ >0vérifiant α2 +β2 = 1 :
point C1 C2
1 1 1
2 1 −1
3 −1 1
4 −1 −1
5 α β
6 −α −β
i)−Calculer la matrice de variance-covariance empirique CX.
ii)−Calculer l0inertie du nuage de points associ´ee au tableau de donn´ees.
iii)−Calculer les composantes principales de l0ACP sur CX (utiliser l0aide).
iv)−Repr´esenter les points et les axes principaux dans le plan de d´epart.
v)−Expliquer le calcul des vecteurs propres `a partir de la figure pr´ec´edente.
vi)−Calculer le pourcentage d0inertie expliqu´ee par le premier axe.
Aide : la matrice de variance-covariance admet comme vecteurs propres
α
β
pour la valeur propre1, et
β
−α
pour la valeur propre 2/3.
1
