EXAMEN DU 24 JUIN 2010 – LM347 (Programme : parties I, II, III, IV et V) Durée 2h - Aucun document - Pas de calculette

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Exercice 1.

Cinq points du plan ont pour coordonnées, pour α >0et β >0 vérifiant α²+β² = 1 :

point C1 C2

1 1 −1/√

3

2 −1 −1/√

3

3 0 2/√

3

5 α β

6 −α −β

i)−Calculer la matrice de variance-covariance empirique CX. ii)−Calculer les valeurs propres de cette matrice.

iii)−Calculer l⁰inertie du nuage de points associ´ee au tableau de donn´ees.

iv)−Calculer les vecteurs propres de CX.

v)−Calculer les composantes principales de l⁰ACP sur CX. vi)−Repr´esenter les points dans le plan des axes principaux.

vii)−Dans ce plan,repr´esenter le point suppl´ementaire de cordonn´ees (0,−1).

viii)−Calculer le pourcentage d⁰inertie expliqu´ee par le premier axe principal.

Aide :la matrice de variance-covariance est proportionnelle à la matriceA=

1 +α² αβ

αβ 1 +β²

et ses valeurs propres ne dépendent pas deα etβ.

Exercice 2.

Soit λ > 0 et un échantillon X₁, . . . , X_n de loi E(λ), de densité f(x) = (1/λ)e^−x/λ pour x∈]0,∞[. On note X= (X₁· · ·X_n)⁰.

i) – Montrer que f est bien une densité de probabilité.

ii) – Calculer EX1 et proposer un estimateur de λ obtenu par la méthode des moments.

iii) – Calculer la densité f_X(x, λ) du v.a. X et le logarithme de la vraisemblance de X.

iv) – Trouver l’estimateur λˆ du maximum de vraisemblance de λ.

v) – Calculer VX1.

vi) – Montrer queλˆ est une suite asymptotiquement normale et calculer sa loi limite.

vii) – Calculer l’information de Fisher I(λ) de l’échantillon X1, . . . , Xn.

viii) – Quelle relation attend-t-on entre la variance de ˆλ et l’information de Fisher I(λ)?

Exercice 3.

Soit y₁, . . . , y_n et z₁, . . . , z_n des valeurs réelles connues et le modèle de régression linéaire X_i =ay_i+bz_i +_i, pour i∈ {1, . . . , n}, avec a, b des paramètres réels, et ₁, . . . , _n des v.a.i.i.d.

de loi N(0, σ²) oùσ² est un paramètre réel strictement positif.

Soit aussi α 6= β deux réels et ` ∈ {1, . . . , n − 1}. On suppose alors que n ≥ 2, que y<sub>1</sub> =· · ·=y<sub>`</sub> =α ety_`+1 =· · ·=y_n=β, et que z⁰y= 0.

i) – Ecrire le modèle sous la forme X = Aθ +, θ∈R², et donner une condition nécessaire et suffisante pour que le modèle linéaire déterministeX˜ =Aθ soit régulier.

ii) – Montrer que la matrice A⁰A est diagonale et calculer (A⁰A)⁻¹.

iii) – Résoudre le problème de moindres carrés associé au modèle de régression linéaire X˜ =Aθ.

iv) – Ecrire la vraisemblance deX.

v) – Trouver les estimateurs du maximum de vraisemblance a,ˆ ˆb,σˆ², des paramètres a, b, σ², lorsque n >2.

vi) – Calculer la loi de ˆa et celle de σˆ².

vii) – Construire un intervalle de confiance pour le paramètre a de degré de confiance 95%.

viii) – Proposer un test de l’hypothèsea = 0, d’erreur de première espèce 5%.

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