parties II et IlI

Ecole supérieure des sciences Economiques et commerciales . Etablissoment d,enseignement supérieur privé reconnu par l.Etat

CONCOURS D'ADMISSION DE 1986

MATHEMATIQUES

-

Lère épreuve

- option

^générale Lundi 12 Mai 1.986 de 14 H

à-IS'{

^l'uvbe-

Les

parties II et IlI

largement indépendantes de

I

^peuvent

ête

abordées en

admettant, au beso'in, des

résultats fournis par

l'énoncé.

0n désigne

par : Rl

l'ensemble des nombres

réels strictement pos'itifs,

tan la fonction

tangente,

.Ln la fonction

logarithme népérien.

Question

préliminaire

Ces deux

intégrales interviennent

dans

les

^questions

qui

suivent.

I -

^{Etude de}

l'æplication f :

^R..

ESSEC

O ^{ul Calculer f(I).}

b)

Montrer

que f(x) ⁺ r1|) est

indépendant

de x

élément ^de

ni. et

donner sa

valeur

(on pourra

poser ,

=

â - ,

^dans

I'intégrale

^donnant

f ^(i)).

xeRî ^calculer,

^en

^posant t

⁼

₊ ^tan u, Ilt-l

⁼

ff #

ïr

a)xe]0,1[.Ca1cu.ler,enposantl,,JÏ,,I2.-)Jo,ffi

nTl

I w:

^\Ir'11

'tr

b)

En déduire que,

quand x

^tend

vers 0 par valeurs

supérieures ^:

tr(x)

^ry

-Ln

^x

(trtr),i

6"ittiffii)=

⁾

-2-

@

oetermination

de

lïo

^f

^{(x) et} ,Iï. ^t(r)

Montrer que,

pour

^g _-< u _,<

f

En déduire une majoration de

et lim f(x)

X++@

Dérivabilité

de

f

a) b)

: u..â.in

^u

f(x) pour x

^<

L,

^puis lim

r(x) x-)0

a) Soit 0 ^la

^fonction

x

désignant un réel

onpose A=xaor2,

ol,I

^dordr.

*thj,

Ut\1ir..Yla relation

ïT

nf par:ô(x)=f:+

JU XCOSUfSInU

positif, h

un

réel tel

^que

⁰ . _lhl . I

B =

h .or2,

L

^pour démontrer que ^: A'(A+B)

définie

sur

stri

ctement

+ sln .2

^u

118

-=---r.t A+B A

^A.

T1

O(x+h)-ô(x)

* (Z u

coszu du

--ï---Joffi ^\< ht[:Bffil,.jh,f \]ffii" ^I

En déduire

que O ^{est dérivable} sur ni

^.

r"sù1tif,*.

@

^Autre expression de

f

a)

Montrer ^que

considéret.l, zltot

Lt

-!

la

courbe représentative

b)

Montrer que

f ^{est dérivable} surn| et

^que

f '(x)= -ç! u,ti2*22\l.t22i)

_o,

a'V tx

^{cos u+sln u)}

_ ^slnucosu

-Ta-.-.-T

x

cos u+stn ^u

,^,

⁼

Io ^{ÿ(u) du} . ([uiau".i.U.pfriy^çr.ttc.l.

primiti .r

ve ^de

pr. ^a _X,l5

avec0<y b)

Dresser ^'le

de f

^.

c)

Quelle

est

^la

*{',

en déduire

f'

d)

Calculer

f'(1

ÿ. ^fres

:

vxe

n[ ^r(x)

⁼

[r. Xdr

^(on

<

x).

tableau ^de

variation et

construire

dérivée de

la fonction

rp te'l1e

que

_ÿ(u)

,$

), ^puis f'(x)

^pour

^x I ^L

^en

^utilisant

^une

t-elle

^{continue en}

¹

^?

II -

Démonstration de

la formule :

^{n 2}

.(^-1Xrr-1)Z

g

^{unique continue}

sur [0,1] telle (donner g(0) et

s(1 ) )

=10_ i

n=l-

@ ^catcut

^de'

e)

^En déduire

*æ

I --l--

n3o ^(zn+t)/

Foirarirll«-

|

^a)

A.rlTrclrrrFàle

Montrer

I'existence

d'une fonction

que Vte lo,lt ^{g(t) = t Ln t}

t'-L

b)

Démontrer, en

utilisant

l'expression Vne

nr

^{f (1)=}

- Ï lL ^{,'o zn} t

^dt

F=O ^JO

c) calculer ï'*P nt ^zn t dt, p

désignant JO

Déduire Oe I

I-@-a

^I ' exi stence d' une

cL

o

< | '

_,2n+1

_{g(t) dt}

,.

fu

Jg

^'

1 converqe

et

^donner

la valeur

de sa ^somme.

(?n+t1c

obtenue au

t@-a

^{que :}

.2n+1

g(t) at

ier naturel.

constante K telle

converge

et calculer

sa

2

n(n+lXrr;f

,

^{puts en}

def .['

un ent

que :

d)

^1,(* #)

que i

n>0

@ ^u)

Montrer que

ta série

,.,1,

#,ry

⁼

sonrE.

b)

En

déduire Ia formule

⁽²⁾ pourra considérer

J-v _(2n+L)' - I \

n(n+],;

/

Détermination d'une

valeur

approchée de n2

Soit pour

xe

Rî h(x)

=

4 ^et

^pour

^peN*

^{s^}

x(x+1

)12x+t)é

^P

*æ

atn - § ²

""'P n=fi+t rG+1Xr,l.l)Z

a)

Montrer que

:

Vpe

n* Ir; h(x)dx.. .p

_-.

encadrant h(x)

que

,

-1-7.. ^{.^ ..} { 6(p+2)" "

^6p'

(.,

D

=l

n=1

f

*-nt*)o*

- ttr

.< I

I 0.trtdr

s J1

-4-

b) Calculer

une

valeur

approchée de sU à 10-4

près.

En déduire une valeur approchée de

nz à

5.10-4 près.

c)

^Donner

l'ordre

de grandeur de

la valeur de p à utiliser

^pour

obtenir par

1a méthode précédente une

valeur

approchée de nZ

à

10-6 près.

III - Accélération

de

la

converqence

Les candidats

qui le désirent

peuvent aborder directement

la

^question

III-@

qui rappelle les résultats

théoriques obtenus aux questions

III -O,@.t _@.

@ ^curcul

^{de vo}

a)

^En remarquant que :

Z(k+l

) _

¹

(Zn+3 ₎ (2n+5) . . . (Zn+Zk+3 ₎

simplifier,pour ru>pt I

N

n=p

b)

En déduire

l'existence et la valeur de

^vk

@ ^oerontrer

^{que :}

V(n,q)e r'.r2 --1-- ⁼ I ^zk tt

₊

(zn+7)L tlo

⁽²ⁿ⁺¹ ) (2n+3).. . (2n+2k+3)

(on pourra procéder

par

récurrence).

_ T-

^zkt<r

=

nlo ^(k'

^P)cN2

Ies résultats résultats

que :

2 o-l v(p,q)e N*xN *='I _"

n=0

avec

Rq =

2Q+r(q+1)! -*æ I

n=p

*for. ^{oÏo'* *}

^*o

(2n+1. )z (zn+t) (Zn+S). _{. .} ( Zn+Zq+3 ₎

1

-

par

( 2n+1

)'

wo =

zpfa'o

1q

æ ^{* olo 'k * Hq est}

^une

^valeur

^approchée

b)

^En

0

majorant,pour n)p,

c)

^En déduire

det-à

?

-. Rq

\<

? W

avec

q

:l

p-1 n=0

près.

que

wq

(zp+l) (zn+l) démontrer que :

(2p+I) (2p+3).. (u p+2k+1;

=5ip=10;

de n?

^obtenue

la valeur de

^q

I r-z+ _I

n=0 (2n+1)'

k=0

u,..

l,o=ÇS.

l*o =#*'o

q

I v,

^{+t^l}

-^K

cas suivants ^p

aleur

approchée

la

machine)

et

@

Détermination d'une

valeur

approchée de n2 à 10-6 ^près

a)

Imaginer un algorithme permettant

d'obtenir

une

valeur

approchée

de

^nZ

à

10-6

près, par la

méthode précédente,

ainsi

que 1e

plus petit entier

q

nécessaire à

cette obtention, p étant

considéré conme paramètre.

0n

rappelle à cet effet

^{que :}

p-1

est

une

valeur

approchée

de

* ^

^{Wo près.}

b) Utiliser cet

algorithme dans

les trois p

₌

15.

0n donnera dans chaque cas

la

v

(avec

toutes

^'les décimales

fournies

^par ayant

servi à I'obtenir.