Ecole Préparatoire en Sciences Economiques, Commerciales et Sciences de Gestion
- DRARIA - ALGER -Examen d'Analyse 1ère Année - 1er Semestre -
(2011/2012) Durée 2h30mnAvertissement : Documents et calculatrices non autorisés.
Exercice 1
1) Soienta, b deux nombres réels quelconques : Montrer que
|a|+|b |≤|a+b|+|a−b|
2) Déterminer (lorsqu'ils existent) Sup(A), Inf(A), Max(A), Min(A), Sup(B), Inf(B), Max(B), Min(B), où A={(−1)n+ 1
n+ 2, avec n∈N} B ={x∈R, |x2−2x−3|≤2}
Exercice 2
On considère la suite numérique (Un) dénie par son premier terme U0 =√ 2 et Un+1=
q 2 +p
Un pour tout n∈N 1) Montrer par récurrence que
∀n ∈N, Un<2 2) Montrer que(Un) est convergente.
3) Montrer que sa limite l appartient à l'intervalle ]74; 2[
Exercice 3
Soient les suites(Un)et (Vn) dénies par
Un+1= 1
3Un+ 1, avec U0 = 1; Vn =
k=n
X
k=0
e(−5k) 1) Calculer U2 et V2.
2) Déterminer les expressions de Un et Vn en fonction de n. 3) En déduire la nature de chacune des suites (Un) et(Vn).
Barême :
Exercice 1 : 1) 2 pts 2) 4 pts (0,5ptx8).
Exercice 2 : 1) 2 pts 2) 3 pts . 3) 2 pts.
Exercice 3 : 1) 1 pt (0,5pt+0,5pt) 2) 4 pts (2pts+2pts). 3) 2pts (1pt+1pt).
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