Master MEEF Maths Capes Externe
UE 2 ORAL 2
2015-2016
L’exercice
𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐵𝐸𝐹𝐺 sont deux carrés Les points 𝐴, 𝐵, 𝐸 sont alignés . Les points 𝐵, 𝐶, 𝐺 sont alignés.
On se propose de démontrer, par trois méthodes différentes, que les droites (𝐴𝐺) et (EC) sont perpendiculaires.
1. Outil « configurations ».
On note 𝑈 le point d’intersection des droites (𝐴𝐺) et (𝐸𝐶). Démontrer que l’angle 𝐴𝑈𝐸̂ est droit et conclure.
2. Outil « produit scalaire ».
Calculer 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et conclure.
3. Outil « géométrie repérée ».
Après avoir muni le plan d’un repère
orthonormé, montrer que les droites (𝐴𝐺) et (EC) sont perpendiculaires.
Les réponses de trois élèves issus de classes de niveaux différents.
Elève 1.
Les triangles 𝐵𝐸𝐶 et 𝐴𝐵𝐺 sont deux triangles rectangles ; ils sont pareils car 𝐵𝐸 = 𝐵𝐺 et 𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 et donc d’après Pythagore 𝐺𝐸 = 𝐴𝐺.
On voit qu’on passe du triangle 𝐵𝐸𝐶 au triangle 𝐴𝐵𝐺 en tournant de 90°.
Donc forcément les droites (𝐴𝐺) et (EC) sont perpendiculaires.
Elève 2.
Je calcule le produit scalaire 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ avec la méthode du projeté orthogonal.
Alors 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , j’ai projeté 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ sur (𝐴𝐸).
Et donc 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , j’ai projeté 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ sur (𝐵𝐺).
On sait que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 car 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré . Et donc 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 , ce qui prouve que les droites
(𝐴𝐺) et (EC) sont perpendiculaires.
Dossier Geo 7 Thème : Etude d’une configuration avec
différents outils.
Elève 3.
Je prends le repère (𝐴, 𝐵, 𝐷) et , pour simplifier les calculs, je décide que 𝐵𝐸 mesure 3 .
Donc dans ce repère on a : 𝐴(0 ; 0) , 𝐵(1 ; 0), 𝐶(1 ; 1), 𝐷(0 ; 1), 𝐸(4 ; 0), 𝐹(4 ; 3) , 𝐺(1 ; 3).
J’ai trouvé que l’équation de la droite (𝐴𝐺) est : 𝑦 = 3𝑥 et que l’équation de la droite (𝐸𝐶) est : 𝑦 = −1
3 𝑥 + 4
3 .
Donc 𝑈 est solution du système { 𝑦 = 3 𝑥 𝑦 =−1
3 𝑥 + 4
3
. 3 𝑥 = −1
3 𝑥 + 4
3 d’où 10
3 𝑥 = 4
3 et 𝑥 = 0,4 . Je calcule : 𝑦 = 3 × 0,4 = 1,2 . Donc 𝑈(0,4 ; 1,2) . Si le triangle 𝐴𝐶𝑈 est rectangle en 𝑈 alors 𝐴𝐶 = 𝐴𝑈2+ 𝑈𝐶² .
𝐴𝑈 = √(0,4 − 0)2+ (1,2 − 0)2= √1,6 et 𝑈𝐶 = √(1 − 0,4)2+ (1 − 1,2)² = √0,4 On remplace : √1,62+ √0,42 = 2 donc c’est vrai, le triangle 𝐴𝐶𝑈 est rectangle.
Les droites (𝐴𝐺) et (EC) sont bien perpendiculaires
Le travail à exposer devant le jury.
1- Présentez, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, une animation permettant d’illustrer cet exercice.
2- Analysez les réponses de ces élèves en mettant en évidence leurs réussites et leurs éventuelles erreurs. On précisera le niveau supposé de scolarité, au vu de la méthode de résolution.
3-. Présentez une autre méthode de résolution au niveau d’une classe de terminale scientifique.
Exposez cette solution comme vous le feriez devant une classe.
4- Proposez deux exercices sur le thème Etude d’une configuration avec différents outils. Vous prendrez soin de motiver vos choix.
