Master 2 EADM 2012 - 2013 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
18/11/2012
DOSSIER Geo 5 Thème : Etude d’une configuration à l’aide de différents outils
L’exercice proposé au candidat
Dans la figure ci-dessous, le point B est un point du segment [AE] distinct de A et E.
ABCD et BEFG sont des carrés.
On se propose de démontrer, par différentes méthodes, que les droites (AG) et (EC) sont orthogonales.
1. Outil « configurations ».
On note U le point d’intersection de (AC) et (EG). Justifier que l’angle AUE est droit et conclure.
2. Outil « produit scalaire » Calculer AG . EC et conclure.
3. Outil « analytique »
Après avoir muni le plan d’un repère orthonormé, montrer que les droites (AG) et (EC) sont orthogonales.
La solution de chaque question proposée par trois élèves issus de classes de différents niveaux
1. Les triangles BEC et ABG sont des triangles rectangles. Ils ont deux côtés égaux, car BE = BG et BC = AB. Donc, ces triangles sont égaux. On voit qu’on passe du triangle BEC au triangle ABG en tournant de 90°(on l’a juste déplacé). Donc, les côtés EC et AG sont égaux et on tourne de 90° pour passer de EC à AG. Cela prouve que l’angle AUE est droit et les droites (AG) et (EC) sont orthogonales.
2. Pour calculer le produit scalaire AG . EC , je prends la méthode des projections.
On projette sur (AB) d’abord puis sur (AC).
On a : AG . EC = AB . BC et le produit scalaire AB . BC est nul par ce que (AB) et (AC) sont perpendiculaires (à cause du carré).
Donc, AG . EC = 0 et les droites sont perpendiculaires.
3. Je prends comme repère (A ; B, D), ce qui fait que A (0 ; 0) et C (1 ; 1).
Pour pouvoir faire des calculs plus facilement, je prends le côté du 2ème carré égal à 3, ce qui fait que E (4 ; 0), et aussi G (1 ; 3).
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UE 12 Epreuve sur dossier
18/11/2012
La droite (AG) a pour coefficient directeur 3 (lu sur le dessin), donc elle a pour équation y = 3x car elle passe par l’origine.
La droite (EC) a pour coefficient directeur – 1
3 (car on avance de 3 et on descend de 1), donc son équation est y = - 1
3 x + b et comme avec E, pour x = 4, y = 0, on trouve que b = 4 3 . Son équation est y = - 1
3 x + 4 3 .
Le point U est à l’intersection des deux droites.
On résout le système
y = 3x y = - 1
3 x + 4 3 En remplaçant : 3x = - 1
3 x + 4
3 ce qui fait 10 3 x = 4
3 et x = 0,4. Et alors y = 3 0,4 = 1,2.
Le point U a pour coordonnées (0,4 ; 1,2).
Si le triangle ACU est rectangle en U, AC2 = AU2 + UC2 (Pythagore).
AU = √( ) ( ) = √ = √ . UC = √( ) ( ) = √ = √ .
On remplace : 42 = (√ ) + (√ ) C’est vrai, et le triangle ACU est rectangle, ce qui fait que les droites (AG) et (EC) sont perpendiculaires.
Le travail à exposer devant le jury
1) Mettre en évidence la propriété énoncée à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.
2) Analyser la production de chaque élève en mettant en évidence ses connaissances et savoir – faire en géométrie plane et en interprétant l’origine de ses éventuelles erreurs. On précisera le niveau supposé de scolarité de chaque élève (en lien avec la question résolue).
3) Proposer une autre méthode de résolution au niveau d’une classe de Terminale scientifique.
Exposer cette solution comme vous le feriez devant une classe.
4) Proposer deux exercices permettant de mettre en jeu plusieurs méthodes pour résoudre un même problème de géométrie plane.
