Master 2 EADM 2011-2012 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
24/11/2011
DOSSIER Geo 7
Thème : Etude d’une configuration avec différents outils
L’exercice
Soit ABC un triangle rectangle en A ; on note I le milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A. La droite passant par H et parallèle à la droite (AC) coupe la droite (AB) en P et la droite passant par H et parallèle à la droite (AB) coupe la droite (AC) en Q.
On se propose de démontrer par différentes méthodes que les droites (AI) et (PQ) sont perpendiculaires.
1) Utilisation de configurations
Soit K le point d’intersection des droites (AI) et (PQ).
Démontrer que l’angle AKP est droit, puis conclure.
2) Utilisation d’une transformation
On note H’ et C’ les symétriques respectifs des points H et C par rapport à la droite (AB).
Démontrer que les droites (AI) et (AH’) sont perpendiculaires, puis conclure.
3) Utilisation du calcul vectoriel
Calculer le produit scalaire AI . PQ, puis conclure.
La réponse d’un élève à la question 2
Par une symétrie, des droites perpendiculaires deviennent des droites perpendiculaires.
Comme AH et HI sont perpendiculaires, AH’ et H’I’ sont perpendiculaires.
Donc (AH’) et (AI) sont perpendiculaires.
Puis (AI) et (PQ) sont perpendiculaires puisque (AH’) est parallèle à (PQ).
Le travail à exposer devant le jury
1. A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, mettre en évidence la propriété étudiée dans cet énoncé.
2. Indiquer, pour chaque méthode de résolution, les savoirs mis en jeu et le niveau auquel on pourrait l’utiliser avec des élèves.
3. Analyser la réponse de l’élève à la question 2.
4. Présenter une correction de la question 3, comme vous la feriez devant une classe.
5. Présenter deux exercices se rapportant au thème « Etude d’une configuration avec différents outils ».
