Master 2 EADM 2011-2012 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
10/11/2011
DOSSIER Geo 6
Thème : Outils en géométrie plane : les similitudes directes
L’exercice
1) Soit ABC un triangle équilatéral de sens direct et de centre O. Déterminer l’angle et le rapport des similitudes directes suivantes :
▪ s1 est de centre A et transforme O en C ;
▪ s2 est de centre A et transforme B en O.
2) On considère un triangle équilatéral ABC de sens direct, d une droite passant par A et parallèle à (BC) et M un point de (BC) distinct de B et C.
La parallèle en M à la droite (AB) coupe d en P et (AC) en E.
La parallèle en M à la droite (AC) coupe d en Q et (AB) en D.
a) Montrer que les triangles AEP et AQD sont équilatéraux de sens direct et que PQ = CB.
b) Soit I, J et K les centres des triangles équilatéraux ABC, AEP et AQD. On désigne par s1 la similitude directe de centre A, de rapport 3 et d’angle
6 , par s2 la similitude directe de centre A, de rapport 3
3 et d’angle
6 , et par f la composée s2 t s1 , où t est la translation de vecteur CB. Préciser la nature de f.
c) Déterminer f (I) et f (J). En déduire la nature du triangle IJK.
Le travail à exposer devant le jury
1. Dégager les méthodes et les savoirs mis en jeu dans la résolution de cet exercice.
2. Proposer une animation, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, mettant en évidence la propriété démontrée dans l’exercice.
3. Présenter un corrigé de la question réponse à la question 2)a), comme vous la présenteriez devant une classe.
4. Proposer l’énoncé d’un exercice de niveau collège portant sur la configuration formée par les triangles ABC et MPQ et faisant appel à la symétrie centrale.
5. Présenter deux autres exercices se rapportant au thème « Outils en géométrie plane : les similitudes directes».
