Contrôle de Mathématiques 2 Semestre 3
Calculatrice interdite Seuls les deux formulaires autorisés
/ Les détails des calculs (même non aboutis) et la rédaction seront pris en compte dans l'évaluation .
Exercice 1. 3 points. On se propose d'étudier la fonction dénie par f(x, y) = xy
(1 +x)(1 +y)(x+y). a. Déterminer et représenter le domaine de dénition def.
Le planR2 tout entier auquel on exclut les droitesy=−1et y=−x.
b. Déterminer et représenter (sur le même graphique que ci-dessus) les courbes de niveau0def. Il s'agit des droitesy= 0 etx= 0.
Exercice 2. 6 points. Le but de l'exercice est de déterminer le triangle qui, parmi tous les triangles de périmètre 1, a une aire maximale. On note respectivement par a et b les longueurs de deux côtés d'un triangle non plat (le troisième côté se déduit puisque l'on sait que le périmétre vaut 1). L'aire s'exprime alors comme une fonction de aet bet on admettra qu'elle est donnée par :
f(a, b) =1 4
p(1−2a)(1−2b)(2a+ 2b−1).
a. En utilisant l'énoncé, justier que 0< a <1/2et 0< b <1/2.
Déjàaetbsont strictement positifs puisque ce sont des longueurs. On a la relation dans les triangles (inégalité triangulaire) :a < b+cmais puisque le périmètre vaut1on ab+c= 1−adonc
a <1−a
ou encore2a <1c'est-à-direa <1/2. Même raisonnement pourb.
b. En tenant compte de a. donner le domaine de dénition de f (il faut qu'il soit cohérent avec l'énoncé), puis le représenter.
Le domaine est{(a, b), 0< a <1/2et 0< b <1/2}. C'est un carré.
c. Après avoir développé l'expression(1−2a)(1−2b)(2a+ 2b−1), calculer le gradient def en(a, b). En développant on trouve :
(1−2a)(1−2b)(2a+ 2b−1) = 8ab2−4b2+ 8a2b−12ab+ 4b−4a2+ 4a−1.
Ainsi
∇f(x, y) = 16ba−8a+ 8b2−12b+ 4 8p
(1−2a)(1−2b)(2a+ 2b−1), 16ab−8b+ 8a2−12a+ 4 8p
(1−2a)(1−2b)(2a+ 2b−1)
!
d. Donner les solutions de4−20x+ 24x2= 0. On pourra d'abord simplier l'expression.
On simplie par4 et on doit trouver les solutions de1−5x+ 6x2= 0qui sont 13 et 12.
e. Déterminer l'ensemble des points critiques def. On pourra utiliser la méthode du pivot de Gauss qui simplie les calculs. On exclura le(s) résultat(s) incohérent(s).
On doit donc résoudre le système :
16ab+ 8b2−12b−8a+ 4 = 0 16ab−8b+ 8a2−12a+ 4 = 0 On soustraitL1à L2 :
16ab+ 8b2−12b−8a+ 4 = 0
−8b2+ 8a2+ 4b−4a = 0 En utilisant une identité remarquable dans la deuxième ligne :
16ab+ 8b2−12b−8a+ 4 = 0 8(a−b) ((a+b)−4) = 0
On trouve donc ou biena=b ou biena= 4−b. Cette dernière solution ne peut pas être comprise dans le domaine. La seule est donca=b. En remplaçant dans la première ligne du système on doit résoudre :
24a2−20a+ 4 = 0
dont on a vu que les solutions sont 13 et 12. Or 12 est exclu du domaine. Finalement le seul point critique est(13,13).
f. Sachant que la matrice hessienne def en le seul point critique restant est donnée par −4√
3 −2√ 3
−2√
3 −4√ 3
,
déduire la nature de ce point critique.
Le polynôme caractéristique de la matrice hessienne est : PA(λ) =λ2+ 8√
3λ+ 36.
Les deux racines réelles sont strictement négatives, on en déduit que le point critique est un maxi- mum local.
g. Conclure.
Finalement le triangle de périmètre1qui a une aire maximale est celui pour lesquels ses côtés sont tous égaux à1/3, c'est-à-dire le triangle équilatéral de périmètre1.
Exercice 3. 4 points. DansR3 muni d'un repère(O,~i,~j, ~k), on considère le solide suivant D2={(x, y, z)∈R3, |x−y|<1, |x+y|<1, 0< z <1}.
a. ReprésenterD2.
b. On pose u =x−y, v =x+y et w = z. Ecrire x, y, z en fonction de u, v, w. En déduire les applicationsϕ1, ϕ2, ϕ3 telles queϕ1(u, v, w) =x, ϕ2(u, v, w) =y et ϕ3(u, v, w) =z.
c. Donner le domaineD1 qui s'envoie surD2par(ϕ1, ϕ2, ϕ3).
d. Calculer le jacobien de ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3) pour tout (u, v, w) ∈ D1 et en déduire qu'il s'agit d'un changement de variables.
e. A l'aide de ce changement de variable, calculer la masse du solideD2dont la densité de masse est donnée par
f(x, y, z) =xe(x+y)2+ye(x+y)2+z.
Voir TD.
Exercice 4. 4 points.Non traité cette année. Soit un triangle rectangle dont les longueurs des deux côtés de l'angle droit sont des v.a. X et Y qui suivent chacune une loi uniforme sur [1,10], c'est-à-dire admettent pour densité :
f(x) = 1
9 six∈[1,10]
0 sinon
On s'intéresse à la longueur de l'hypothénuse Z.
a. Après avoir expriméZ en fonction deXetY, donner l'ensemble des valeurs possibles prises parZ. b. Calculer la fonction de répartition de Z. On pourra utiliser un changement de variables en coor-
données polaires.
c. En déduire la densité deZ.
d. Donner la valeur moyenne de Z (un bonus sera accordé pour la simplication maximale de ce calcul). On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoireX à densitéfX et à valeurs dans[a, b]
est donnée par
E[X] = Z b
a
tfX(t)dt.
Exercice 5. 3 points. Après avoir donné une équation du solide ci-dessous (cube troué), calculer son volume en utilisant le calcul intégral.
2
Le cube est centré en0 et a des côtés de longueur6. Ce domaine s'écrit donc : C1={(x, y, z), −3≤x≤3, −3≤y≤3, 0≤z≤6}
Le cylindre lui a un rayon égal à2 et donc son équation est
C2{(x, y, z), x2+y2≤22, 0≤z≤6}
Finalement le volume du solide se calcule : Z Z Z
S
1dxdydz= Z Z Z
C1
1dxdydz− Z Z Z
C2
1dxdydz= 63−4π×6.
3
