j , − → k ) . Soit D et D 0 deux droites non coplanaires ; on note − → u (respectivement − →

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Problème I.

On considère l'espace euclidien orienté E muni d'un repère orthonormal (O, − → i , − →

j , − → k ) . Soit D et D ⁰ deux droites non coplanaires ; on note − → u (respectivement − →

u ⁰ ) un vecteur directeur unitaire de D (respectivement D ⁰ ) et A (respectivement A ⁰ ) un point de D (res- pectivement D ⁰ ).

Soit ∆ la perpendiculaire commune à D et D ⁰ . On note H (respectivement H ⁰ ) le point d'intersection de ∆ avec D (respectivement D ⁰ ).

Dans tout le problème X désigne l'ensemble des points M équidistants des droites D et D ⁰ . Le produit mixte des vecteurs − → a , − →

b , − → c est noté det( − → a , − →

b , − → c ) ou vol( − → a , − → b , − → c ) .

1. a. Citer et démontrer une formule donnant la distance notée d(M, D) d'un point M à la droite D .

b. On note d = HH ⁰ la distance entre D et D ⁰ . Montrer que

d = | det( −−→

AA ⁰ , − → u , − → u ⁰ )|

k− → u ∧ − → u ⁰ k 2. Dans cette question, on suppose que l'on a − → u = − →

j , − → u ⁰ = − →

i , A = O et que A ⁰ est le point de coordonnées (0, 0, 1) .

a. Déterminer une équation de l'ensemble X .

b. Préciser une équation de l'intersection de X avec chacun des plans de coordonnées.

Construire les courbes associées après avoir déterminé leur nature.

3. On revient maintenant au cas général.

a. Soit O ⁰ soit le milieu de [HH ⁰ ] et − → I , − →

J dénis par

−

→ I = 1 k− → u + − →

u ⁰ k

( − → u + − → u ⁰ ), − →

J = 1

k− → u − − → u ⁰ k

( − → u − − → u ⁰ )

Comment doit-on choisir − →

K pour que (O ⁰ , − → I , − →

J , − →

K) soit un repère orthonormal direct ?

b. Démontrer que dans ce nouveau repère, les droites D et D ⁰ admettent un système d'équations de la forme







y = εmx z = ε d 2 où ε ∈ {−1, 1} et m ∈ R.

H D

A − → u

D ⁰ H ⁰

A ⁰

−

→ u ⁰

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c. Déterminer une équation de l'ensemble X des points équidistants de D et de D ⁰ . 4. Dans cette question on utilise le repère de la question précédente pour étudier les

droites contenues dans X .

Montrer que par tout point de X passent deux droites incluses dans X . Préciser les coordonnées des vecteurs directeurs.

5. Dans cette question on étudie encore les droites contenues dans X mais sans utiliser de repère, tous les calculs sont vectoriels.

Soit M ∈ X , − → w un vecteur non nul et λ un nombre réel. On dénit le point P _λ par :

−−−→ M P λ = λ − → w

a. Exprimer d(P _λ , D) ² comme une fonction du second degré en λ . b. Montrer que les deux relations suivantes :

( k− → w ∧ − → u k ² =k− → w ∧ − → u ⁰ k ² (1) det( −−→

AM , − → u , − → w ∧ − → u ) = det( −−→

A ⁰ M , − →

u ⁰ , − → w ∧ − → u ⁰ ) (2) entraînent que P λ ∈ X pour tout λ réel.

c. On dénit deux plans P ⁺ et P ⁻

P ⁺ = (Vect( − → u + − → u ⁰ )) ^⊥ P ⁻ = (Vect( − → u − − → u ⁰ )) ^⊥ Montrer que l'ensemble des − → w vériant (1) est P ⁺ ∪ P ⁻ .

d. Montrer que l'ensemble des − → w vériant (2) est un plan vectoriel à préciser.

e. Montrer que par tout point M de X passent deux droites incluses dans X . Préciser les vecteurs directeurs.

Problème II.

Soit P un plan euclidien muni d'un repère orthonormé (O, − → i , − →

j ) . On note x et y les fonctions coordonnées dans ce repère. On pourra dans tout le problème identier un point de P avec son axe complexe.

Ainsi x(z), y(z) désignent aussi bien les coordonnées du point d'axe z que les parties réelle et imaginaire de z

Préliminaire

Montrer que l'image d'une conique d'excentricité e par une similitude directe est une conique. Préciser un foyer et l'excentricité de la conique image.

I. Transformation de Zhukowskii

On considère l'application Z dénie par :

C ^∗ −→ C z → z + 1

z

1. a. Soit r et θ deux nombres réels avec r > 0 . Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de

Z(re ^iθ ) b. Pour quels nombres complexes u , l'équation

z + 1 z = u admet-elle une solution réelle strictement positive ?

2. a. Soit C r le cercle de centre O et de rayon r 6= 1 . Former l'équation cartésienne de l'image E r par la transformation Z de ce cercle.

b. Quelle est la nature de E _r ? Préciser les foyers et l'excentricité.

c. Dessiner E 2

3. a. Soit D θ la demi-droite d'extrémité O et dirigée par − → e θ (vecteur de coordonnées (cos θ, sin θ) avec θ 6≡ 0 ( ^π ₂ ) . Former l'équation cartésienne de l'image H θ par la transformation Z de cette demi-droite.

b. Quelle est la nature de H _θ ? Préciser les foyers, l'excentricité et un vecteur direc- teur pour chaque asymptote.

c. Dessiner H

3

4. Déterminer les images des demi-droites D 0 , D

2

, D π , D ₋

2

.

II. Coniques de Hooke

Soit K un nombre réel non nul, k est un nombre complexe tel que k ² = K on considère l'équation dierentielle

z ⁰⁰ − Kz = 0 (1)

Une solution de cette équation est une application dénie dans R et à valeurs dans C, c'est donc une courbe paramétrée. On se propose de donner quelques propriétés du support d'une telle courbe.

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1. Préciser l'ensemble des solutions de (1).

2. Soit A , B , g des nombres complexes non nuls, α est un argument de A , β est un argument de B .

a. Déterminer les g complexes tels que g ² = AB . b. Montrer que

( A

g ) ² ∈ R ⇔ α ≡ β (π) ⇔ AB ∈ R Montrer que

| A

g | = 1 ⇔ |A| = |B|

c. Soit S la similitude dénie par :

w → S(w) = gw Calculer

S ◦ Z( A g e ^kt ) 3. Soit z une solution de (1) de la forme

z(t) = Ae ^kt + Be ^−kt

avec A et B complexes non nuls. Attention ici z désigne une fonction.

En distinguant des conditions sur A , B , K , montrer que le support de z est soit une ellipse, soit un segment, soit une branche d'hyperbole, soit une demi-droite, soit une droite. Pour une ellipse, on précisera les foyers, le demi grand axe, le demi petit axe.

Pour un cercle on précisera le centre et le rayon.

Pour une branche d'hyperbole, on précisera les foyers, les vecteurs directeurs des asymptotes, la distance du centre au sommet.

Pour une demi-droite on précisera l'extrémité et le vecteur directeur.

4. Soit z 0 et z ₀ ⁰ deux nombres complexes, on adopte ici les notations de la question précédente.

a. Calculer A et B pour que z soit la solution de (1) vériant z(0) = z 0 , z ⁰ (0) = z ₀ ⁰ . b. Calculer AB et AB .

c. Pour K < 0 , que doit-on imposer à z ₀ et z ₀ ⁰ pour que A 6= 0 , B 6= 0 , |A| 6= |B| ? d. Pour K > 0 , que doit-on imposer à z 0 et z ₀ ⁰ pour que A 6= 0 , B 6= 0 , AB 6∈ R ?

III. Transformation de Bohlin

Dans cette partie, on reprend les notations de I. On introduit aussi deux nouvelles trans- formations. La transformation de Bohlin est l'application B dénie par

C −→ C z → z ² On considère aussi la translation T dénie par :

C −→ C z → z + 2 1. a. Préciser B(C _r ) et B(D _θ ) .

b. Préciser l'image par B d'une droite d'équation y = c avec c 6= 0 puis d'une droite quelconque (ne passant pas par l'origine)

2. Montrer que

B ◦ Z = T ◦ Z ◦ B 3. Préciser B(E r ) et B(H r ) .

4. Question facultative et culturelle. Hors barême.

Soit z une solution de l'équation diérentielle (1). On admet qu'il existe une fonction ϕ continue et dérivable telle que pour tout réel t :

ϕ ⁰ (t) = |z(t)| ²

On dénit une courbe paramétrée w en posant pour tout réel t : w(ϕ(t)) = z(t) ²

Quel est le support de w ? Calculer w ⁰⁰ (ϕ(t)) . Interpréter physiquement.

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