D1824. K,L,M en bonne compagnie
Soient un triangle acutangle ABC et son cercle circonscrit (Γ). La bissectrice de l'angle BAC coupe le côté BC au point A1 et l'arc BC qui ne contient pas A au point M. La droite perpendiculaire au côté AC passant par A1 coupe l'arc AC qui ne contient pas B au point K. La perpendiculaire à BK passant par A coupe le côté BC au point L. Démontrer que les points K,L et M sont alignés.
La droite K A1 recoupe le cercle (Γ) en un point G, les angles FAC et BKG, à côtés perpendiculaires, sont égaux, les arcs de cercle qu'ils interceptent : BG et FC sont égaux, BC et GF sont parallèles.
Le cercle (Γ) est supposé avoir pour rayon 1. Les points du cercle sont repérés par leurs affixes : M(m), B (b=mx), C(c=m/x), G(g=my), F(f=m/y), K(k), A(a).
(f – a)/(b – k) est imaginaire pur : (f – a)/(b – k) + (1/f – 1/a)/(1/b – 1/k) = 0 → a = – bk/f , a= – kxy Les trois droites BC, AM, KG sont concourantes, le déterminant qui suit est nul :
│1 bc b+c │ │1 m² m(x+1/x) │
│1 am a+m │= │1 – kxym m – kxy │= (m/x)[x3ykm + x²yk(y(k-m)-k) – xm(ym+k-m) + ykm] = 0
│1 kg k+g │ │1 kmy k+my │
Montrons que les trois droites BC, KM, AF sont concourantes : Développons le déterminant suivant :
│1 bc b+c │ │1 m² m(x+1/x) │
│1 km k+m │= │1 km k+m │= (– m/(xy)[x3ykm + x²yk(y(k-m)-k) – xm(ym+k-m) + ykm]
│1 af a+f │= │1 –kmx – kxy + m/y│
Ce deuxième déterminant est égal au quotient du précédent par (–y), donc il est nul.
Le point L d'intersection des droites BC et AF est sur la droite KM.
Les 3 points K, L, M sont alignés.
