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D10500. D’une égalité l’autre Soit un triangle

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Academic year: 2022

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(1)

D10500. D’une égalité l’autre

Soit un triangle ABC et une sécante DEF (D sur BC, E sur CA, F sur AB). On supposeAB+BD=AE+ED.

Montrer qu’alorsAC+CD =AF +DF. Solution

Dans un triangleLM N , je note le demi-périmètre p(LM N) ; LM+LN

M N = cos(LM N/2−M N L/2) cos(LM N/2 +M N L/2), puis tan(LM N/2) tan(M N L/2) = 1−M N/p(LM N).

Soit par exempleDsur [BC], E sur [AC], B sur [AF] ; l’égalité p(ADB) =p(ADE) donne

tan(BAD/2) tan(BDA/2) = 1−AD/p(ADB) = 1−AD/p(ADE) = tan(EAD/2) tan(EDA/2).

Cela se réécrit tan(F AD/2)

tan(CDA/2) = tan(CAD/2) tan(F DA/2),

puis 1−AD/p(ADF) = tan(F AD/2) tan(F DA/2) = tan(CDA/2) tan(CAD/2) = 1−AD/p(ACD).

Donc p(ACD) = p(ADF), d’oùAC+CD =AF +DF, CQFD (théorème de Urquhart).

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