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A20089. D’une différentielle l’autre Soit

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A20089. D’une différentielle l’autre

Soit y une solution de l’équation différentielle ay00+by0+cy = 0, oùa, b, c sont des fonctions données de x. Montrer que z = y2 vérifie une équation différentielle Az000+Bz00+Cz0+Dz= 0, A, B, C, D étant des fonctions de x, les mêmes quelle que soit la façon dont on a choisiy.

Solution

NotonsF l’expressionay00+by0+cy.

Les 7 expressionsz, z0, z00, z000, yF, y0F, yF0 sont fonctions linéaires des 6 mo- nômesy2, yy0, yy00, yy000, y02, y0y00. Eliminant ces derniers, on obtient

a2z000+ 3abz00+ (4ac+ab0 + 2b2 −ba0)z0+ 2(2bc−a0c+ac0)z = 2ayF0 + 6ay0F + 2yF(2b−a0)

d’où l’équation différentielle demandée, le second membre étant nul.

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