Chapitre 0 : Rédaction et (un peu de) logique
/ Rédiger correctement pour être compris de tous.
/ S'approprier les diérents types de raisonnements.
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Les quanticateurs sont introduits pour la première fois par Leibniz à la n du 17e siècle. La logique mathématique telle qu'on l'apprend et qu'on l'enseigne aujourd'hui est formalisée vers la n du 19e siècle avec les travaux de George Boole (1815-1864) qui découvre des structures algébriques permettant de dénir un calcul de vérité.
En 1900 au cours d'une très célèbre conférence au congrès international des mathématiciens à Paris, David Hilbert (1862-1943) propose une liste des 23 problèmes non résolus les plus importants des mathématiques d'alors. Les problèmes de Hilbert suscitent de nombreux travaux en logique et notamment le développement d'axiomes pour les mathématiques. A ce jour, 11 problèmes sont parfaitement résolus, 6 le sont partiellement et 6 sont toujours non résolus.
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Table des matières
1 Rappels sur la manipulation des objets 1
1.1 Introduire les variables ! . . . 1
1.2 Fonctions . . . 2
2 Propositions 2 2.1 Quanticateurs . . . 2
2.2 Proposition . . . 2
3 Construction de propositions 3 3.1 Négation . . . 3
3.2 Construction avec ET ou OU . . . 3
3.3 Implication . . . 4
3.4 Equivalence . . . 5
4 Quelques exemples de (très) mauvaise rédaction 6 5 Diérents types de raisonnements 7 5.1 Par l'absurde : pour montrerP . . . 7
5.2 Par contraposée : pour montrerP =⇒Q . . . 7
5.3 Par analyse-synthèse : existence et unicité d'une solution . . . 7
1 Rappels sur la manipulation des objets
Un exemple de rédaction : étudier les variations de la fonctionf :x7−→x3−x+ 1.
1.1 Introduire les variables !
Comme en informatique, la phrase seule xest positif n'a pas de sens si la variablexn'a pas été introduite ! +On introduit une variablexpar une expression introductive :
1.2 Fonctions
Une fonction est désignée par un nom, par exemplef. L'objet f(x)est l'image du nombre xpar la fonction f.f(x)est donc un nombre et ne représente pas la fonction. Ainsi :
• Ecrire f(x)est croissante surR n'a pas de sens. Ecrire :
• Ecrire f(x)est dérivable surR n'a pas de sens. Ecrire :
• Ecrire f(x)0 n'a pas de sens. Ecrire :
2 Propositions
2.1 Quanticateurs
Les quanticateurs ne sont jamais isolés et précèdent toujours des éléments.
Quanticateur Signication Exemple
∀ pour tout ou quel que soit ∀x∈Rsignie pour tout réel x
∃ il existe ∃x∈Nsignie il existe un entier naturelx Les quanticateurs sont utilisés pour formuler des énoncés mais jamais dans les démonstrations.
• +Rédaction pour montrer ∀x∈R, x2+ 1>0 :
• +Rédaction pour montrer ∃x∈R, x <0 :
2.2 Proposition
Une proposition est un énoncé dont on peut décider à l'instant où il est formulé s'il est Vrai ou bien Faux.
Dénition 1 (Proposition).
Exemple 1. • Tous les élèves de PCSI de Troyes sont des garçons est un énoncé . . .
• ∀x∈R, x2≥0 est un énoncé . . .
• x2≥0 est une proposition dont la véracité dépend dex. En eet . . . Une façon d'illustrer une proposition est la suivante :
La table de vérité d'une propositionP est une présentationP. P Véracité Vrai Véracité Faux Dénition 2 (Table de vérité).
+Le mot clef On a permet d'utiliser le résultat d'une Proposition Vraie, au cours d'une démonstration. On écrit : On a P. La suite logique la plus courante est d'en déduire un résultat, avec le mot donc .
Exemple 2. Parmi les rédactions suivantes, déterminer celles qui ont un sens ou non.
• On a ∃x∈R, x <0. Il existe donc un réelxstrictement négatif.
• La proposition ∀x∈R, x≤0est fausse. Il existe donc des réels positifs.
• On a f(x)doncf(x) =. . ..
• On a Z 1 0
x2dxdonc . . .
3 Construction de propositions
3.1 Négation
Donner le contraire de tous les élèves sont présents :
SoitP une proposition. La négation de P notée nonP est la proposition contraire deP donnée par le tableau de vérité suivant :
P nonP Vrai
Faux Dénition 3 (Négation).
+Pour montrer qu'une propositionP est Vraie, on peut montrer :
Soit la propositionP : tous les élèves ont au moins 1 vélo . TraduireP à l'aide de quanticateurs puis écrire nonP.
Exemple 3. Ecrire la négation deP :∀x∈R, ∃y∈R, xy= 1.
+Inversion des quanticateurs par la négation :
non(∀x∈E, ∃y∈F, P(x, y)) équivaut à . . . x∈E, . . . y∈F, nonP(x, y)
3.2 Construction avec ET ou OU
SoitP et Qdeux propositions. On dénit les propositions P ETQetP OUQpar leur table de vérité suivante : P Q P ETQ P OUQ
Vrai Vrai Vrai Faux Faux Vrai Faux Faux Dénition 4 (ET / OU).
SoitP et Qdeux propositions. On a :
• non (P ETQ)=
• non (P OUQ)=
Proposition 1 (Loi de De Morgan).
-Démonstration
P Q non(P ETQ) non(P OUQ) nonP nonQ (nonP) ET (nonQ) (nonP) OU (nonQ) Vrai Vrai
Vrai Faux Faux Vrai Faux Faux
3.3 Implication
SoitP et Qdeux propositions. L'implication P implique QnotéeP ⇒Qest la proposition (non P) OU(Q):
P Q P ⇒Q
Vrai Vrai Vrai Faux Faux Vrai Faux Faux Dénition 5 (Implication).
Une implicationP ⇒Qse traduit dans le langage courant par "SI on aP ALORS on aQ".
Exemple 4. "S'il pleut alors il y a des nuages" se traduitP0⇒Q0avec
P0: Q0:
nonP0 : nonQ0 :
Par dénition, "S'il pleut alors il y a des nuages" équivaut à non (P0⇒Q0) :
Remarque :
P Q P ⇒Q (nonP) OU (Q) non (P ⇒Q) Vrai Vrai
Vrai Faux Faux Vrai Faux Faux
La négation de P⇒Qest donc
+Pour montrer qu'une implicationP ⇒Qest Vraie, il faut montrer :
Exemple 5. Montrer que x= 1⇒x+ 1 = 2
+Pour montrer queQest Vraie grâce à une implicationP ⇒Q, il faut montrer :
Exemple 6. On sait que x∈R⇒x2≥0 est Vraie. Soitx∈C. Peut-on appliquer l'implication ?
SoitP et Qdeux propositions. La contraposée de l'implication P ⇒Qest la proposition nonQ⇒nonP. Dénition 6 (Contraposée).
P Q nonP nonQ nonQ⇒nonP Vrai Vrai
Vrai Faux Faux Vrai Faux Faux
Remarque :
• la contraposée
• la contraposée n'équivaut pas à la négation de l'implication Exemple 7. Contraposée de : x∈R⇒x2≥0.
3.4 Equivalence
SoitP etQdeux propositions. L'équivalence entreP etQnotéeP ⇔Qest la proposition qui est Vraie si et seulement si les propositionsP etQont la même véracité.
Dénition 7 (Equivalence).
Table de vérité de l'équivalence :
P Q P ⇔Q P ⇒Q Q⇒P P⇒QETQ⇒P Vrai Vrai
Vrai Faux Faux Vrai Faux Faux
+Pour montrer queP etQsont équivalentes, il faut montrer :
Exemple 8. Soitx, a∈R. On a l'équivalence :
x2=a2⇔ |x|=|a|.
+On ne mélange jamais les symboles=⇒,⇔ou les quanticateurs dans une phrase en français.
+Les symboles=⇒,⇔s'utilisent entre propositions (Vraies ou Fausses) et rien d'autre.
Exemple 9. Soitf la fonction dénie parf(x) =x2+x+ 4−3(x+ 1). On n'écrit pas :
f(x) ⇐⇒ x2+x+ 4−3(x+ 1)
⇐⇒ x2−2x+ 1
⇐⇒ (x−1)2
Mais :
f(x) = x2+x+ 4−3(x+ 1)
= x2−2x+ 1
= (x−1)2
+Le symbole⇔est essentiellement utilisé pour résoudre des équations ou des inéquations.
Exemple 10. Sachant que3et −7sont racines du polynôme5x2+ 20x−105, résoudre dansRl'inéquation5x2+ 20x−105≥0.
Exemple 11. Déterminer l'ensemble de dénition de la fonctionf dénie parf(x) =p
1−4x(x+ 1).
4 Quelques exemples de (très) mauvaise rédaction
Exemple 12. Montrer que la fonctionf :x7−→ x2x+1 est croissante sur[−1,1].
f0(x) =x2(x+1−x(2x)2+1)2 = (x−x2+1)2+12.
On a f0(x)>0 sur [−1,1]car−x2+ 1>0 doncf(x)est croissante sur[−1,1].
Exemple 13. Montrer que la fonctionf :x7−→ x2x+1 est impaire surR.
Soitx. On af(−x) =−x2x+1 =−f(x).
⇐⇒f(x)est impaire.
Exemple 14. Soitf :x7−→ x2x+1. Résoudref(x) =x1 surR.
Soit x ∈ R. On a f(x) = x2x+1 = x1 donc x2=x2+ 1.
Ce qui est impossible doncS={∅}.
5 Diérents types de raisonnements
5.1 Par l'absurde : pour montrer P
Eectuer un raisonnement par l'absurde pour montrer une proposition P, signie que l'on suppose que non P est Vraie et après une succession d'étapes logiques, on aboutit à une proposition Fausse ou condradictoire avec la dernière hypothèse formulée.
La dernière hypothèse est donc fausse, ainsi nonP est Fausse et donc P est Vraie.
Exemple 15. Montrer que√
2 est un nombre irrationnel.
5.2 Par contraposée : pour montrer P = ⇒ Q
Eectuer un raisonnement par contraposée pour montrer l'implication P =⇒ Q revient à montrer l'implication non Q=⇒ nonP.
Exemple 16. Montrer que pour tout réelx, x26= 1 =⇒x6= 1.
5.3 Par analyse-synthèse : existence et unicité d'une solution
Eectuer un raisonnement par analyse-synthèse se déroule en deux étapes :
• l'analyse : on raisonne sur une hypothétique solution au problème et on accumule des déductions de propriétés qu'elle doit vérier étant solution du problème ;
• la synthèse : on examine tous les objets vériant les conditions nécessaires précédemment accumulées (ce sont les seuls candidats pouvant être des solutions) et on détermine, parmi eux, lesquels sont réellement des solutions.
Dans notre cours, l'analyse fournira toujours l'unicité d'une éventuelle solution, et l'analyse justiera toujours l'existence de cette solution.
Exemple 17. Montrer que toute fonction deRdansRest somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire dénies surR.
