RICM 4 Probabilit´es et Simulation
Mod´elisation
Fiabilit´e
Question 1.1 :Redondance
Un composant ´electronique sert a d´eclencher une alarme si une condition extraordinaire se pr´esente.
Ce composant est fiable a96%. On envisage de mettre un certain nombre de ces composants en pa- rall`ele pour augmenter la fiabilit´e du syst`eme d’alarme. Combien de composants doit-on placer en parall`ele de telle sorte que la fiabilit´e du syst`eme soit d’au moins99.99%?
Question 1.2 :Fiabilit´e de r´eseaux
Deux stations A et B d’un r´eseau communiquent par 3 chemins diff´erents dont chacun com- porte un certain nombre de stations-relais qui `a tout instant sont susceptibles de tomber en panne.
Les stations-relais peuvent tomber en panne ind´ependamment les unes des autres. Les probabilit´es respectives qu’elles tombent en panne `a un instant donn´e sont indiqu´ees dans le chemin suivant :
B
0.1 0.1 0.1
0.4
0.25 0.25
A
Quelle est la probabilit´e qu’`a un instant donn´eAetB puissent communiquer, c’est-`a-dire qu’il existe au moins un chemin ne comportant aucune station-relais en panne ?
Mˆeme question avec le r´eseau :
0.4
A 0.25 B
0.4 0.1
0.1
Ecrire un algorithme de simulation d’un tel syst`eme.
Question 1.3 :Dur´ee de vie
On d´esire mod´eliser la dur´ee de vie d’un syst`eme v´erifiant la condition suivante : sachant que mon syst`eme a v´ecununit´es de temps, je n’ai aucune information suppl´ementaire (par rapport `a d’autres instants) sur le temps qu’il lui reste `a vivre.
Quelle relation doit v´erifier cette loi, quelle est cette loi ?
Performance
Question 2.1 :Processeur avec rebouclage
On consid`ere le syst`eme constitu´e d’un processeur et d’une file d’attente. Un programme arrivant sur le processeur sera execut´e “petits bouts par petits bouts” `a la fin de chaque petite ex´ecution on teste si le programme est termin´e, s’il ne l’est pas on renvoie le programme dans la file d’attente. Soitpla
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probabilit´e (mesur´ee empiriquement) que le programme soit termin´e `a la fin de l’ex´ecution d’un “petit bout”.
Programmes
Entree Sortie des programmes
Rebouclage
Processeur Zone d’attente
1. Quelle est (pr´eciser bien les hypoth`eses probabilistes) la loi du nombre de passageN d’un pro- gramme sur le processeur.
2. En supposant que le temps d’ex´ecution d’un “petit bout” de programme prendXunit´e de temps avecXdistribu´e selon une loi g´eom´etrique de param`etreq, quelle est la loi du temps d’ex´ecution global du programme (temps total de s´ejour dans le processeur) ?
3. Calculer la moyenne et la variance de ce temps d’ex´ecution.
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