Extension de corps quadratique
Dans ce problème, on note
— Pl’ensemble des nombres premiers.
— Pour toute partie finie A de P, on note ΠA la racine carrée du produit des éléments de A.
Autrement dit,ΠA= Y
p∈A
√p. On rappelle que, par convention,Π∅= 1.
— Il est essentiel de remarquer que si A et B sont deux parties disjointes et finies de P alors ΠA∪B = ΠA×ΠB.
— Pour toute partie finie E deP, on note QE =
X
A∈P(E)
λAΠA /∀A⊂E, λA∈Q
.
L’objectif de ce problème est d’étudier les propriétés algébriques de QE. 1. Soitp∈P. Montrer que
Q{p}={a+√
pb / a, b∈Q}.
2. Montrer que si E etF sont deux parties finies deP vérifiant F ⊂E alorsQF ⊂QE. Dans la suite du problème,E désigne une partie finie de P.
3. Montrer que si E est non vide alors ΠE est un irrationnel.
4. Montrer queQE est un sous-espace vectoriel de dimension finie duQ-espace vectoriel(R,+,·) et donner un majorant dedimQ(QE).
5. Dans cette question, on prouve que QE est un sous-corps de (R,+,×).
(a) Prouver queQE est un sous-anneau de(R,+,×).
(b) On va ensuite montrer que QE est un sous-corps de (R,+,×) par récurrence sur n=|E|.
i. Montrer que la propriété est vraie au rang initial.
On se donne un entiern>1et on suppose la propriété vraie au rang n−1.
On suppose que|E|=n. On noteq un élément deE et on pose F =E\ {q}.
On se donne enfin un élément non nulz de QE. Il s’agit de montrer que 1z ∈QE. ii. Montrer le résultat siz∈QF.
On suppose dans la suite quez /∈QF.
iii. Montrer qu’il existe x, y∈QF tels que z=x+√
qy avecx−√
qy6= 0.
iv. On notez=x−√ qy.
Montrer quez×z∈QF et conclure.
6. On va prouver par récurrence sur n∈N, la propriétéP(n) : « SoitE ⊂Pde cardinal n. Pour toutG⊂P, siG6⊂E alorsΠG∈/QE ».
(a) Montrer que la propriété est vraie au rang initial.
On se donne un entier n>1 et on suppose la propriétéP(n−1)vraie.
Par l’absurde, on suppose P(n) fausse. Ainsi, il existe une partieE de P de cardinal net une partie Gde P non incluse dansE telles ΠG∈QE.
On note q un élément deE et on poseF =E\ {q}.
(b) Montrer qu’il existe x, y∈QF tels queΠG =x+√
qy ety6= 0.
(c) Après élévation au carré, montrer quex= 0.
(d) En discutant selon la présence de q dansG, en déduire une absurdité et conclure.
L’intérêt de cette question est qu’elle permet d’affirmer les deux choses suivantes :
— Si F est une partie finie deP et sip∈P vérifie p /∈F alors√
p /∈QF. 1
— Si F E alorsQF QE.
7. SoitE une partie finie deP. CalculerdimQ(QE).
8. On se donne des partiesA1,· · · , Am dePdistinctes deux à deux. Soientλ1,· · ·, λm des ration- nels non tous nuls. Pour 16k6m, on poseqk =
s Y
p∈Ak
p.
Montrer que le réelx=
m
X
k=1
λkqk est irrationnel.
9. Soitn>2. Montrer que le réel √
2 +· · ·+√
nest un irrationnel.
10. Question facultative pour les « Hardcore matheux », à ne traiter que si toutes les question pré- cédentes sont abouties et rédigées convenablement.
SiAest un anneau alors on noteA[X]l’ensemble des polynômes en l’indéterminéeX à coeffi- cients dans A.
Autrement dit,P ∈A[X]si, et seulement si, il existe il existe m∈N tel que
P = X
k∈{0,···,m}
akXk oùak∈A.
Soitn∈N?. On noteQ[X1,· · · , Xn], l’ensemble des polynômes en les indéterminées :X1,· · · , Xn
et, à coefficients dansQ.
Autrement dit,P ∈Q[X1,· · ·, Xn]si, et seulement si, il existe il existem∈Ntel que
P = X
k1,···,kn∈{0,···,m}
ak1,···,knX1k1· · ·Xnkn oùak1,···,kn ∈Q.
En écrivant
P =
m
X
kn=0
X
k1,···,kn−1∈{0,···,m}
ak1,···,knX1k1· · ·Xn−1kn−1
Xnkn,
on s’aperçoit que Q[X1,· · · , Xn] = Q[X1,· · ·, Xn−1][Xn] et que Q[X1,· · ·, Xn] s’interprète comme l’ensemble des polynômes en l’indéterminéeXn à coefficients dansQ[X1,· · · , Xn−1].
Enfin, siE ={p1,· · · , pn} désigne une partie de Pde cardinalnalors on note Q(√
p1,· · ·,√
pn) =n Pe(√
p1,· · · ,√
pn) / P ∈Q[X1,· · ·, Xn]o . Montrer queQ(√
p1,· · ·,√
pn) =QE.
* * * FIN DU SUJET * * *
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