MT241 Examen fictif du 13 janvier 2003 dur´ee : 1 heure 30 Le poly est le seul document autoris´e. Les calculatrices sont interdites.
1. On consid`ere la matrice
A =
0 1 0 0
0 0 1 0
2 1 −2 0
m −2 0 1
o`u m est un param`etre r´eel. On d´esigne par a l’endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique est ´egale `a A.
a. V´erifier que λ = −1 est valeur propre de a, puis d´eterminer toutes les valeurs propres dea. D´eterminer les valeurs du param`etrempour lesquellesaest diagonalisable, et donner dans ce cas une base de R4 form´ee de vecteurs propres de a.
b. Dans cette question on suppose que m = 1. D´eterminer le sous-espace carac- t´eristique de a pour la valeur propreλ = 1.
2. On consid`ere le syst`eme diff´erentiel
(S) ∀t∈R, Y0(t) = A Y(t)
o`u A est la matrice de la question 1, d´ependant du param`etre r´eel m.
a. Dans cette question on suppose que m = 2. Donner la forme de la solution g´en´erale du syst`eme (S). D´eterminer les solutions Y = (y1, y2, y3, y4) du syst`eme (S) dont la premi`ere fonction coordonn´ee y1 v´erifie y1(t) = sh(t) pour tout t ∈ R. D´eterminer la solution Y du syst`eme (S) qui v´erifie la condition initiale Y(0) = (0,1,0,0).
b. Dans cette question on suppose que m= 1. D´eterminer la solution Y du syst`eme (S) qui v´erifie Y(0) = (0,0,0,1), puis la solution qui v´erifie Y(0) = (1,1,1,0).
Quels sont (toujours lorsque m = 1) les vecteurs y0 ∈ R4 tels que la solution Y du syst`eme diff´erentiel Y0(t) = A Y(t) v´erifiant la condition initiale Y(0) =y0 reste born´ee lorsque t →+∞?
