Soient A'h1(C') et B'h1(D') Alors : E'h2(A') et F'h2(B') Il existe une inversion f, de pôle I, qui échange les cercles 1 et 2

D1961-Une sertissure

Solution proposée par Pierre Renfer

On va définir des points A',B',C',D',E',F' dont on verra à la fin qu'ils coïncident avec les points A,B,C,D,E,F.

Soit h l'homothétie, de centre M, qui transforme ₁ ₁ en . Soit h l'homothétie, de centre N, qui transforme ₂  en ₂.

Alors l'homothétie hh₂h₁ transforme ₁ en ₂. Soit I le centre de cette homothétie h.

Du point I, on mène les deux tangentes communes aux cercles ₁ et ₂. L'une des tangentes rencontre ₁ en C' et ₂ en E'.

L'autre tangente tangentes rencontre ₁ en D' et ₂ en F'.

L'homothétie h transforme C' en D' et E' en F'.

Soient A'h₁(C') et B'h₁(D') Alors : E'h₂(A') et F'h₂(B')

Il existe une inversion f, de pôle I, qui échange les cercles ₁ et ₂. Cette inversion échange C' et E' et échange D' et F'.

Les centres I,M,N des homothéties sont alignés et l'inversion f échange aussi M et N.

Les quatre points C',E',M,N sont donc cocycliques

(La puissance du point I par rapport au cercle '  passant par ces quatre points est égale à la puissance de l'inversion f)

La puissance A'C 'A'M du point A' par rapport à ₁ est égale à la puissance N

' A ' E '

A  du point A' par rapport à ₂, car ces puissances sont toutes les deux égales à la puissance de A' par rapport à ' .

Le point A' appartient donc à l'axe radical (PQ) des cercles ₁ et ₂. Le point A' coïncide donc avec le point A de l'énoncé;

On montre de façon analogue que B' coïncide avec B.

Donc les points C',D',E',F' coïncident avec les points C,D,E,F.

La droite (CD) est parallèle à la droite (AB) puisque h transforme (CD) en (AB). ₁ Et l'axe radical (AB) est perpendiculaire à la droite des centres (O₁O₂).

Le point O est donc le milieu de l'arc CD de ₂ ₁.qui le contient.

L'angle (CD,CO₂), inscrit dans ₁, est donc égal à l'angle (CO₂,CE), ( la droite (CE) étant la tangente en Cà ₁).

On montre de façon analogue l'égalité des angles (DC,DO₂) et (DO₂,DE).

Le point O est donc le centre du cercle inscrit au triangle CID. ₂

Ce cercle inscrit est le cercle ₂, tangent en E à (CI) et tangent en F à (DI).

Il est tangent à (CD) au milieu de [CD].