D1833. La saga des dichotomies (5ième épisode)
Soit un triangle acutangle ABC. Les points D,E et F sont respectivement les pieds des hauteurs issues des sommets A,B et C. Une droite passant par D parallèle à EF rencontre AC au point Q et la droite AB au point R. Les droites BC et EF se rencontrent au point P. Démontrer que le cercle circonscrit au triangle PQR passe par le milieu M de BC.
E et F appartiennent au cercle de diamètre BC. Angle (BF,BC) = Angle (EF,EC).
Mais (BF,BC)=(BR,BC), et (EF, EC) = (QR,QC) car QR parallèle à EF.
L'égalité (BR,BC) = (QR, QC) prouve que RBQC sont cocycliques.
La puissance de D par rapport à ce cercle est (DR) . (DQ) = (DB) . (DC) Etude du produit (DP) . (DM)
Si b et c sont les abscisses de B et C comptées à partir de l'origine D, celle de M est m=(b+c)/2 Le faisceau AP, AH, AB, AC est harmonique.
P est le conjugué harmonique de D par rapport à B & C, l'abscisse p de P vérifie 2 p = 1
b + 1 c d'où p = (2bc)
(b+c) et (DP) . (DM) = mp = (b+c)
2 . (2bc)
(b+c) = bc = (DB) . (DC) Les produits (DR) . (DQ) et (DP) . (DM) sont tous deux égaux à (DB) . (DC)
(DR) . (DQ) = (DP) . (DM) prouve que R, Q, P, M sont cocycliques.
Le cercle PQR passe par le milieu M de BC.
