A239 - L'essuie-glace du professeur Tournesol
Enoncé de Jérémy Junay
Le capitaine Haddock souhaite installer des essuie-glaces sur les hublots circulaires de son bateau. Chaque essuie-glace est constitué d'une tige qui pivote autour d'un point fixe P situé sur la circonférence du hublot ou à l'extérieur de celui-ci. La tige porte une lame dont toute la longueur reste en contact avec le verre plat du hublot.
On désigne par e l'angle balayé par la tige lors d'un passage complet de la lame sur le hublot. Le rayon r du hublot est de 10 cm.
Le capitaine se tourne vers le professeur Tournesol pour qu'il trouve un point P tel que l'essuie-glace nettoie au moins la moitié du hublot. Après moult calculs, le professeur constate qu'il existe deux positions de P, l'une sur la circonférence du hublot et l'autre à l'extérieur qui donnent un coefficient de nettoyage de 50% avec le même débattement e. Déterminer l'angle e et pour chacune des deux positions les longueurs de la tige et de la lame ainsi que la distance PO.
Le professeur suggère au capitaine Haddock de choisir parmi ces deux positions celle qui permet d'obtenir le coefficient de nettoyage le plus élevé possible en jouant sur la longueur de la tige. Trouver la position de P qui est retenue et déterminer le coefficient de nettoyage ainsi que les longueurs de la tige et de la lame.
Question subsidiaire : existe t-il un montage avec lequel les deux tiers du hublot peuvent être nettoyés ?
Réponse de Julien de Prabère
Soient d la distance du point P au centre O du hublot et 2m la longueur de la lame de l’essuie-glace, nous aurons aussitôt PA (longueur de la tige) = d cos(e/2) + m et PB = d cos(e/2) – m. La puissance du point P par rapport au cercle, circonférence du hublot donne immédiatement la relation fondamentale suivante.
(1) d² - r² = d² cos² (e/2) – m ² ou encore d ² sin² (e/2) + m² = r ² Quant à la surface balayée par la lame, elle est égale à celle balayée par PA, diminuée de celle balayée par PB : S = e (PA² - PB²) / 2. Le coefficient de nettoyage C s’en déduit immédiatement en rapportant cette surface à la surface totale du hublot.
(2) S = 2 m d e cos (e/2) = C π r² puis
(3) C² π² r4 = 4 d² e² [r²- d ² sin² (e/2) ] cos² (e/2)
Ces relations permettent de déterminer la lame et le coefficient de nettoyage en fonction de la distance d et de l’angle e, la longueur de la tige étant ensuite donnée par PA = d cos(e/2) + m. C n’est défini que si m est positif ou si d sin(e/2) ≤ r (l’angle est limité par celui sous lequel la circonférence du hublot est vue du point de P, il se referme avec la distance).
En exprimant que la relation (3) est vérifiée sur la circonférence du hublot pour d = r, les couples de points situés soit sur la circonférence, soit à l’extérieur, associés à un même angle balayé et à un même coefficient vérifieront à la fois :
C π = 2 e cos² (e/2) et sin²(e/2) d4 – r² d² + r4 cos²(e/2) = 0
Le produit des racines de cette équation du second degré en d² à déterminant positif ou nul, vérifiée pour d² = r², nous donne alors d² = r² cos²(e/2) / sin²(e/2). Les valeurs de e étant comprises entre 0 et π, nous aurons d = r cos(e/2) / sin(e/2) et cette solution répondra au problème physique étudié si d est supérieur à r et donc si e est inférieur à π/2.
Finalement pour tout angle balayé e positif, inférieur à π/2, le coefficient de nettoyage C = 2 e cos² (e/2) / π peut être obtenu à partir de deux pivots P, l’un situé sur la circonférence du hublot, à 10 cm de son centre, et l’autre situé à l’extérieur, à la distance d = r cos(e/2) / sin(e/2). Dans le premier cas, la longueur de la lame (et de la tige) de l’essuie-glace doit être égale à 2 r cos(e/2), dans le second, celle de la lame doit être 2 r sin (e/2) et celle de la tige de r / sin(e/2).
En particulier, le balayage de la moitié de la surface du hublot, C=1/2, peut être obtenu avec un angle e vérifiant la relation e cos² (e/2) = π /4. Sur l’intervalle nous concernant, cette équation ne comporte que deux solutions très particulières puisque égales à π/3 et π/2. La valeur e = π/3 conduit effectivement à deux positions.
L’une à partir d’un point situé sur la circonférence, à 10 cm du centre du hublot, avec une lame (et tige) de 17,320 cm. La seconde à une distance de 17,320 cm avec une lame de 10 cm et une tige de 20 cm. Par contre, la valeur e= π/2 constitue, comme nous l’avons déjà vu, un cas limite pour lequel les deux points P se rejoignent sur la circonférence du hublot.
Le coefficient de nettoyage C susceptible d’être obtenu, à partir de la circonférence du hublot à 10 cm du centre, C = 2 e cos² (e/2) / π reste limité.
Sur l’intervalle considéré, sa valeur maximale 0,52451 est obtenue pour un angle de 1.30654 radians soit un peu moins de 75 degrés décimaux.
Par contre, à la distance r√3 = 17.320 cm, la valeur maximale du coefficient de nettoyage prend la valeur C = 0.60001 pour e=0.81071 radians. Gageons que le professeur Tournesol recommande cette valeur correspondant à une lame (2m) de 7.304 cm et une tige de 19.569 cm.
Plus généralement, les variations du coefficient de nettoyage avec l’angle balayé et la distance au centre peuvent être illustrées par le graphique suivant.
Si l’expression du coefficient maximal à distance donnée n’est pas aisée à mettre en évidence sous forme algébrique, la forme « parabolique en d² » de C² suggère de s’intéresser au coefficient maximal à angle balayé constant. Notons que ces deux coefficients maximaux correspondent à des situations distinctes. Dans le premier cas, le plan tangent à la surface contient une horizontale parallèle à l’axe des angles balayés (comme pour les deux maximaux précédemment mis en évidence), dans le second cas, il contient une horizontale parallèle à l’axe des distances au centre. Le coefficient maximal à angle donné est alors obtenu, lorsque l’équation en d² comporte une racine double égale à la demie somme des racines, avec r² = 2 d² sin²(e/2) soit lorsque r = d√2 sin(e/2). La lame 2m = r√2 est alors indépendante de l’angle et le coefficient de nettoyage vérifie C π = e cos (e/2) / sin(e/2).
Depuis la valeur limite e = π/2 (obtenue pour d = r) et pour des angles balayés décroissants, les distances et coefficients ainsi obtenus sont croissants.
L’étude des positions respectives des coefficients maximaux permettrait alors de démonter (comme le suggère le graphique) que les différents maximaux varient dans
le même sens avec la distance. En toute hypothèse, la relation obtenue pour les coefficients maximaux à angle donné permet d’examiner des distances croissantes.
Fort de ce constat, conviendrait-il alors, pour obtenir le meilleur coefficient de nettoyage, de rejeter le point P à l’infini pour balayer un carré avec une lame, de longueur r√2, se déplaçant d’autant, parallèlement à elle-même, malgré un angle de balayage nul ?
Même si le coefficient théoriquement obtenu 2/π = 63,662 est inférieur à 2/3, sa valeur notable pourrait nous inciter à rechercher un système articulé à base de triangles ou de parallélogrammes assurant un tel balayage avec un point P, pivot principal, un peu plus proche…
À moins que les progrès accomplis pour assurer les enchâssements des vitres de nos véhicules autorisent des balais débordants ? Encore conviendrait-il de déterminer leurs formes pour optimiser le balayage tout en limitant les débordements !
Peut-être aussi serait-il possible de résoudre les problèmes posés par un pivot intérieur au hublot ? Alors son centre présenterait indéniablement un coefficient de nettoyage attrayant, indépendamment d’avantages certains tant au plan de la continuité des mouvements qu’à ceux de la concision et de l’économie des recherches et développements1 préalables...
1 Sans compter les erreurs ou confusions toujours susceptibles d’entacher les documents correspondants.
