E530 : Pour épater le Professeur Tournesol
Le fakir Ragdalam et son assistante madame Yamilah avant d'entrer en scène au Music Hall Palace veulent épater le professeur Tournesol. En l'absence de madame Yamilah, Ragdalam demande au professeur d'écrire une séquence de n chiffres ayant au moins n0 chiffres. Le fakir masque alors deux chiffres adjacents dans la séquence des n chiffres. Madame Yamilah fait son apparition et devine les deux chiffres manquants dans le bon ordre en affirmant qu'elle n'a pas fait appel à ses dons de voyante extra- lucide. Est-ce possible ? Si oui, quelle est la plus petite valeur de n0 qu'a pu donner Ragdalam au professeur et comment s'y prend la voyante pour trouver les deux chiffres ? Si non, plongez vous dans la lecture des « 7 boules de cristal » pour (re)découvrir le spectacle du fakir et de son assistante...
Source : d'après olympiades russes de mathématiques
Il y a n-1 façons de choisir 2 chiffres consécutifs dans un nombre de n chiffres, et 100 possibilités pour ces deux chiffres: pour que le fakir et son assistante puissent convenir d’un «truc» qui permette de faire deviner les chiffres cachés d’après leur position, il faut qu’il y ait injectivité, donc que n-1≥100, donc n0 ≥101.
Soient N=(a1, ..., an) est la séquence choisie, une application linéaire modulo n-1 (n-1≥100) , L(N)=p1a1 +...+pnan , i=1+L(N), où i≤n-1 et enfin N’ la séquence où les termes ai et ai+1 ont été masqués (remplacés par des zéros); L(N)-L(N’)=piai+pi+1ai+1 : si nous prenons p2k=1 et p2k-1=10 , L(N)-L(N’) donnera le nombre cherché si i est impair;
si i est pair, il suffira d’inverser les chiffres.
En résumé, le fakir calcule L(N) et masque les nombres à partir du rang i=1+L(N);
Madame Yamilah calcule L(N’) et voyant i connaît donc L(N)=i-1, donc les chiffres cachés.
