E530. Pour épater le professeur Tournesol
Le fakir Ragdalam et son assistante madame Yamilah avant d'entrer en scène au Music Hall Palace veulent épater le professeur Tournesol. En l'absence de madame Yamilah, Ragdalam demande au professeur d'écrire une séquence de chiffres ayant au moins chiffres. Le fakir masque alors deux chiffres adjacents dans la séquence des chiffres.
Madame Yamilah fait son apparition et devine les deux chiffres manquants dans le bon ordre en affirmant qu'elle n'a pas fait appel à ses dons de voyante extra-lucide. Est-ce possible ? Si oui, quelle est la plus petite valeur de qu'a pu donner Ragdalam au professeur et comment s'y prend la voyante pour trouver les deux chiffres ? Si non, plongez vous dans la lecture des « 7 boules de cristal » pour (re)découvrir le spectacle du fakir et de son assistante...
Source : d'après olympiades russes de mathématiques
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Madame Yamilah dispose des informations suivantes : les chiffres visibles et la position du cache. Pour chacune des positions possibles du cache, on a combinaisons possibles des chiffres visibles. Soit
combinaisons au total. Elle doit être capable de retrouver la séquence choisie par le professeur Tournesol parmi possibles. On a donc :
Montrons ensuite qu’il existe bien une méthode pour exécuter le tour quand .
Le fakir Ragdalam procède ainsi. Il découpe la séquence en tranches de deux chiffres, et calcule modulo 100 la somme des nombres obtenus. Autrement dit, en notant les chiffres de la séquence,
. Il place ensuite le cache en position , de sorte à masquer et ; ce qui est toujours possible
puisque .
Madame Yamilah déduit la valeur de de la position du cache. Elle découpe la séquence en tranches de deux chiffres, en comptant 0 pour les chiffres masqués, et calcule modulo 100 la somme des nombres obtenus. Si est
pair alors , si est impair alors . Dans les deux cas, elle peut
donc annoncer, dans l’ordre, les deux chiffres manquants.
Le tour est donc possible sans don de voyance. La plus petite valeur de est 101.
