E530. Pour épater le professeur Tournesol
Au préalable, le fakir et son assistance auront convenu d’un code. Soit f une application de codage deE l’ensemble des séquences à n chiffres versF l’en- semble des séquences à n chiffres avec 2 chiffres masqués consécutifs. Puisque l’assistante ne fait pas appel à ses dons de voyance,f doit être nécessairement une injection. Une condition nécessaire est donc que|F|>|E|.Or|E|= 10n et
|F|= (n−1) 10n−2car le premier chiffre masqué ne peut être qu’à une position comprise entre 1 etn−1. Ainsi,n>101.
Montrons quen0= 101 en explicitant une manière de procéder.
Tout d’abord, notonsu0, . . . , u100 les 101 premiers chiffres de la séquence écrite par le professeur Tournesol. Le fakir calcule alors le nombrei= 10u0+u1+· · ·+ u99+ 10u100(mod 100) qui lui donne la position du premier chiffre manquant, puisqu’il choisit de masquerui et ui+ 1.L’assistante, en comptant la position du premier chiffre manquant, prend connaissance du nombrei. Elle calcule un nombrejselon la même méthode que le fakir pour calculeri,mais en substituant les chiffres masqués par 0. La différencei−j(mod 100) lui donne alors un nombre à deux chiffres : c’est directement 10ui+ui+1 si iest pair, et ui+ 10ui+1 si i est impair, auquel cas il lui suffit de lire le nombre à l’envers.
1
