A239 : L’essuie-glace du professeur Tournesol
Le capitaine Haddock souhaite installer des essuie-glace sur les hublots circulaires de son bateau.
Chaque essuie-glace est constitué d’une tige qui pivote autour d’un point fixe P situé sur la circonférence du hublot (voir figure 1) ou à l’extérieur sur l’axe vertical Oy (voir figure 2). La tige PA porte une lame BA dont toute la longueur reste en contact avec le verre plat du hublot. B est confondu avec P si ce point est sur la circonférence du hublot. On désigne par e l’angle balayé par la tige lors d’un passage complet de la lame sur le hublot. Le rayon r du hublot est de 10cm.
Le capitaine se tourne vers le professeur Tournesol pour qu’il trouve un point P tel que l’essuie-glace nettoie au moins la moitié du hublot. Après moult calculs, le professeur constate qu’il existe deux positions de P, l’une sur la circonférence du hublot et l’autre à l’extérieur qui donnent un coefficient de nettoyage de 50% avec le même écartement e. Déterminer l’angle e et pour chacune des deux positions les longueurs de la tige et de la lame ainsi que la distance PO
Le professeur suggère au capitaine Haddock de choisir parmi ces deux positions celle qui permet
d’obtenir le coefficient de nettoyage le plus élevé possible en jouant sur la longueur de la tige. Trouver la position de P qui est retenue et déterminer le coefficient de nettoyage ainsi que les longueurs de la tige et de la lame.
Question subsidiaire : existe t-il un montage avec lequel les deux tiers du hublot peuvent être nettoyés ? Si P est sur la circonférence, la longueur a de la tige PA vaut a=2r cos(e/2) et le coefficient de nettoyage est alors y=(a2e/2)/πr2 =2e cos2(e/2)/π=(1+cose)e/π . L’équation y=1/2 a deux solutions e=π/3 et e=π/2 ; le maximum de y est légèrement supérieur à 0,5245, obtenu pour e=1,3065.
Si P n’est pas sur la circonférence, soit M le milieu de AB, et x=OP/r, m=PM et 2b=AB.
Nous avons alors m=xrcos(e/2) et, en écrivant la puissance de P par rapport au cercle, (x2-1)r2=m2-b2 soit b2 =r2 (1-x2 sin2(e/2)) . Or le coefficient de nettoyage est alors
z=(((m+b)2 -(m-b)2)e/2)/πr2 =2mbe/πr2 , donc z2=4x2cos2(e/2)(1-x2 sin2(e/2)) (e/π)2. Pour e fixé, le maximum de z est pour 2x2sin2(e/2)=1 (donc 2x2cos2(e/2)=2x2-1=1/tan2(e/2) ) et vaut z=e/(πtan(e/2)) ; si e=π/2 , ce maximum est obtenu pour x=1 (P sur le cercle) et il n’y a donc pas d’autre position de P donnant la même valeur de z. Pour e=π/3, z=1/2 pour x tel que x2(4-x2)=3, donc pour x=√3 (outre bien sûr x=1). On a alors b=r/2, et m=3r/2 : la longueur de la tige est m+b=2r=200mm et celle de la lame 2b=r=100mm Si P est sur la circonférence , le coefficient de nettoyage est inférieur à 52,45% ; si P est à r√3 du centre, z2=12cos2(e/2)(3cos2(e/2)-2)(e/π)2 =3(cose+1)(3cose-1)(e/π)2 et le maximum de z est légèrement supérieur à 60% pour e=0,8107 (environ 8π/31) ; on a alors b=0,73r et m=1,59r donc la longueur de la tige m+b=232mm, et celle de la lame 2b=146mm
Enfin, nous avons vu que pour e fixé le maximum de z est atteint pour 2x2sin2(e/2)=1 et vaut z=e/(πtan(e/2)) : comme tan(e/2)>e/2, ce maximum est inférieur à 2/π, donc
strictement inférieur à 2/3.
