A239 - L’essuie-glace du professeur Tournesol
Problème proposé par Jérémy Junay
Le capitaine Haddock souhaite installer des essuie-glaces sur les hublots circulaires de son bateau. Chaque essuie- glace est constitué d’une tige qui pivote autour d’un point fixe situé sur la circonférence du hublot (voir figure 1) ou à l’extérieur sur l’axe vertical (voir figure 2). La tige porte une lame dont toute la longueur reste en contact avec le verre plat du hublot. est confondu avec si ce point est sur la circonférence du hublot. On désigne par l’angle balayé par la tige lors d’un passage complet de la lame sur le hublot. Le rayon du hublot est de 10cm.
Le capitaine se tourne vers le professeur Tournesol pour qu’il trouve un point tel que l’essuie-glace nettoie au moins la moitié du hublot. Après moult calculs, le professeur constate qu’il existe deux positions de , l’une sur la circonférence du hublot et l’autre à l’extérieur qui donnent un coefficient de nettoyage de 50% avec le même écartement . Déterminer l’angle et pour chacune des deux positions les longueurs de la tige et de la lame ainsi que la distance .
Le professeur suggère au capitaine Haddock de choisir parmi ces deux positions celle qui permet d’obtenir le coefficient de nettoyage le plus élevé possible en jouant sur la longueur de la tige. Trouver la position de qui est retenue et déterminer le coefficient de nettoyage ainsi que les longueurs de la tige et de la lame.
Question subsidiaire : existe t-il un montage avec lequel les deux tiers du hublot peuvent être nettoyés ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Préliminaires
On pose .
On applique le théorème d’Al-Kashi aux triangles et , il vient :
C'est-à-dire que et sont les solutions (avec ) de :
L’aire balayée est donc :
Coefficient de nettoyage de 50%
On prend sur le cercle, soit , et . Il vient :
Cette équation possède deux solution et dans l’intervalle .
On suppose , soit .
Et on cherche tous les points qui vérifient . Il vient :
On obtient , puis et .
La distance mesure environ 17,321cm. La tige mesure 20cm et la lame 10cm.
On procède de même avec , soit .
Et on cherche tous les points qui vérifient . Il vient :
Il n’y a pas d’autre point P à l’extérieur du cercle qui convienne.
Amélioration du coefficient de nettoyage
Posons , le coefficient de nettoyage.
On prend sur le cercle, soit .
Une étude de dans l’intervalle exhibe un maximum d’environ 0,52 au voisinage de . On prend à l’extérieur du cercle, soit .
Une étude de dans l’intervalle exhibe un maximum d’environ 0,6 au voisinage de . Pour ce coefficient maximum d’environ 60%, la tige mesure environ 23,2cm et la lame 8,6cm.
Coefficient de nettoyage maximum
Fixons l’écartement , et calculons pour maximiser le coefficient de nettoyage.
La valeur optimale permet alors d’atteindre le coefficient de nettoyage maximal :
La fonction est croissante dans l’intervalle . On tend donc vers la configuration optimale quand tend vers 1 et tend vers l’infini.
Il n’existe donc pas de montage permettant de nettoyer les deux tiers du hublot.
