A239. L’essuie-glace du professeur Tournesol

A239. L’essuie-glace du professeur Tournesol

Précisons que 06e6π.

NotonsI le milieu deAB,et P A=a>b=P B etc=P O.

Le coefficient de nettoyage de 50% se traduit par ^e(^a2−b2)

2 =^πr₂². Dans le triangleP OI nous avons cos^e₂ =_{P O}^{P I} = ^a+b_2c .

Dans le premier cas, nous avons b = 0 et c = r, et donc ecos^2e₂ = ^π₄ et a= 2rcos^e₂.

Une étude montre quee= ^π₃ ou ^π₂,c’est-à-direa= 10√

3 ou 10√ 2.

Dans le deuxième cas, nous avonsa+b= 2ccos₂^e eta−b= _2ce^πr_cos² e 2

= ^2r2cos_c ^e2. Donca= ^c2+r_c ²cos^e₂ et b = ^c2−r_c ²cos^e₂. Par ailleurs, nous avonsab=c²−r² (puissance deP par rapport au cercle), d’oùc=_tan^re

2

, a=_cos^ce 2

etb=^c_cos^cose^e 2

.

e c a a−b

π 3 10√

3 20 10

π

2 10 10√

2 10√ 2

Finalemente= ^π₃ est la seule solution (l’autre correspond au premier cas).

Parmi les deux positions deP, déterminons celle maximisant le coefficient de nettoyage en jouant sur la longueur de la tige, ou ce qui revient au même, sur l’angle balayé.

Dans le premier cas, il s’agit de maximiser la fonction f(e) = _π²ecos^2e₂. Le coefficient maximum 52,45 % est atteint pour l’anglee≈1,3065.

Dans le deuxième cas, remarquons d’abord que a et b sont aussi solutions de l’équationX²−2ccos₂^eX+c²−r² = 0,d’où a=ccos^e₂+q

r²−c²sin^2e₂ et b=ccos^e₂−q

r²−c²sin²₂^e.

Il s’agit de maximiser la fonction g(e) = _πr²₂cecos^e₂q

r²−c²sin^2e₂. Avec les valeurs, le coefficient maximum 60,00 % est atteint pour e ≈ 0,8107. C’est donc la deuxième position de P qui est retenue et nous avons a ≈ 23,22 et a−b≈14,61.

Graphiquement il n’existe pas de montage pour nettoyer les deux tiers du hublot, la limite supérieure semblant être _π² <²₃.

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