PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

COLLÈGE LA PRÉSENTATION

BREVET BLANC Novembre 2010 classe de 3^e

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 heures

Présentation et orthographe : 4 points

Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments usuels de dessin.

PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

Exercice 1 (4 points)

On considère l'expression E = 3x2²−3x2 x7

1. Développer et réduire E.

E=9x²+12x+4−(3x²+21x+2x+14) E=9x²+12x+4−3x²−23x−14 E=6x²−11x−10

2. Factoriser E.

E=(3x+2)[(3x+2)−(x+7)] E=(3x+2) (3x+2−x−7) E=(3x+2) (2x−5) 3. Calculer E lorsque x=1

2.

On prend l'expression développée de E : E=6x²−11x−10 Quand x=1

2, alors :

E=6×

(

)

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l'un de ses facteurs est nul.

On en déduit que 3x+2=0 ou 2x−5=0 Soit : x=−2

3 ou x=5 2 .

Les solutions de cette équation sont donc −2 3 et 5

2 .

Exercice 2 (3 points)

On considère la fraction 190 114.

1. Expliquer pourquoi cette fraction n'est pas irréductible.

Les deux nombres 190 et 114 sont pairs, donc ils ont au moins 2 comme diviseur commun ; la fraction est donc simplifiable par au moins 2, elle n'est donc pas irréductible.

2. Déterminer le PGCD des nombres 190 et 114 par la méthode de votre choix (faire apparaître les calculs utilisés).

190 = 114× 1 + 76 114 = 76× 1 + 38 76 = 38×2 + 0

Donc PGCD(190;114) = 38.

3. En déduire la forme irréductible de la fraction 190

114 : 190

114=5×38 3×38=5

3

Exercice 3 (2 points)

Pour le 1^er mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et de 78 roses. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.

1. Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ?

Elle veut utiliser toutes les fleurs : le nombre de bouquets sera donc un diviseur de 182 et 78.

Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets : le nombre de bouquets est le PGCD de 182 et 78.

182 = 78×2 + 26 78 = 26×3 + 0.

Donc PGCD(182;78) = 26.

Elle pourra faire 26 bouquets de fleurs identiques.

2. Quelle sera la composition de chaque bouquet ?

182 ÷ 26 = 7 et 78 ÷ 26 = 3. Donc chaque bouquet sera composé de 7 brins de muguet et 3 roses.

Exercice 4 (3 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Aucune justification n'est demandée.

Pour chacune des expressions numériques, trois résultats sont proposés. Un seul est exact.

Recopier sur la copie chaque expression numérique et la réponse exacte.

Réponse A Réponse B Réponse C

1 3

27 5

1 0 7

1 0 1 0

2 9 1 0

2 1 0⁵

1 0² 1 0³ 1 0⁷ 1 0^{− 3}

3 2

3−7 3 ÷1

4

1

1 2 −2 6

3 −2 0

3

4 1 0⁵² 1 0⁷ 1 0³ 1 0^{1 0}

PARTIE 2 : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 POINTS)

Exercice 1 (5 points)

1. Construire un triangle ABC tel que : AB = 4,8 cm ; AC = 6,4 cm et BC = 8 cm.

2. Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

Dans le triangle ABC, le plus long côté est [BC].

Or BC² = 8² = 64 d'une part et AC² + AB² = 4,8² + 6,4² = 23,04 + 40,96 = 64 d'autre part.

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, puisque BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.

3. Construire le point D symétrique du point B par rapport au point A.

4. Calculer l'aire du triangle BCD.

Le triangle ABC est rectangle en A, donc (AC)  (AB).

De plus B et D sont symétriques par rapport à A, donc les points A, B et D sont alignés. On en déduit que (AC)  (BD), et donc la droite (AC) est une hauteur pour le triangle BCD.

L'aire du triangle BCD est donc égale à : BD×AC

2 =4,8×2×6,4

2 =4,8×6,4=30,72cm²

Exercice 2 (3 points)

Soit un triangle ABC. Le point I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [AC] et K est le milieu du segment [BC].

1. Tracer la figure.

2. Démontrer que IJKB est un parallélogramme.

Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC].

D'après le théorème de la droite des milieux, la droite (IJ) est donc parallèle à (BC) ; comme K  [BC], alors (IJ) // (BK).

De la même façon, J est le milieu de [AC] et K est le milieu de [BC], donc (JK) // (AB), et comme I  [BA], alors (JK) // (BI).

Le quadrilatère IJKB a ses côtés opposés deux à deux parallèles, donc c'est un parallélogramme.

Exercice 3 (4 points)

Un parc de jeu a une forme triangulaire.

Il est représenté sur la figure ci-contre où les dimensions ne sont pas respectées.

Les dimensions réelles de ce terrain sont : DE = 12 m

EF = 9 m

D E

F

DF = 15 m

1. On veut construire ce triangle à l'échelle 1/200.

a) Compléter le tableau ci-dessous.

DE EF DF

Dimensions réelles 12 m 9 m 15 m

Dimensions du dessin 6 cm 4,5 cm 7,5 cm

b) Construire le triangle DEF

2. Montrer que ce terrain possède un angle droit.

Dans le triangle DEF, le côté le plus long est [DF].

D'une part DF² = 15² = 225 et d'autre part EF² + DE² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.

D'après le théorème de Pythagore, puisque DF² = EF² + DE², alors le triangle DEF est rectangle en E.

3. Calculer l'aire réelle de ce parc.

Puisque le triangle DEF est rectangle en E, alors l'aire de ce triangle est égale à : DE×EF

2 =12×9

2 =6×9=54m²

PARTIE 3 : PROBLÈME (12 POINTS)

Partie 1 : Le graphique suivant représente la distance parcourue par un train entre deux villes A et B en fonction de l’heure.

a. Donner l’heure de départ et d’arrivée du train ainsi que la distance entre les villes A et B.

b. Quelle distance parcourt-il entre 9 h et 11 h ? Et entre 11 h 30 min et 13 h ? Que s’est-il passé entre 11 h et 11 h 30 min ?

c. Calculer la vitesse moyenne en km.h^{- 1} du train entre 9 h et 11 h puis sa vitesse moyenne entre 11 h 30 min et 13 h.

d. Calculer sa vitesse moyenne en km.h^{- 1} entre 9 h et 13 h.

e. Ce train effectue le trajet retour à la vitesse moyenne de 160 km.h^{- 1} sans faire d’arrêt. Quelle est la durée du trajet retour ?

f. Calculer la vitesse moyenne du train en km.h^{- 1} sur le parcours aller-retour (arrondir le résultat au dixième).

Partie 2 : Un autre train effectue 46 km en zone urbaine à 69 km.h^{- 1} de moyenne.

Il poursuit ensuite son parcours en campagne pendant 1 h 35 min à une vitesse de 96 km.h^{- 1}. g. Calculer la durée du trajet en zone urbaine puis la longueur du trajet en campagne.

h. Calculer la vitesse moyenne du train sur l’ensemble du parcours (zone urbaine plus campagne).

Remarque : on rappelle la formule de la vitesse :

Si un objet parcourt une distance d (en km) pendant un temps t (en h), alors sa vitesse moyenne v (en km.h^-1) est Distance parcourue

9 h 10 h 11 h 12 h 13 h A

200 km B 400 km

Heure

donnée par la formule v=d t.