A535 – Petite somme divise grande somme [**** à la main]
Démontrer que la somme des 2009 entiers naturels 1,2,3,…,2009 divise la somme des puissances 2009 de ces mêmes entiers.
Solution proposée par Jacques Guitoneau
La réponse à la question 2 permettrait de répondre à la question 1 mais commençons par la question 1.
La somme des 2011 premiers nombres= 2011*2012/2 soit la décomposition en nombres premiers suivants 2011*503*2
montrons que la somme des puissances 2011 des 2011 premiers nombres est bien divisible par chacun de ces termes
par 2 puisqu'il y a 1006 termes impairs dans cette somme
par 2011, en effet on peut constater d'après le petit théorème de Fermat que N**2010 =1 (Mod 2011) et donc que N** 2011 =N (Mod 2011), donc Somme de 1à 2011 de N** 2011=
2011*2012/2 mod 2011 (le terme correspondant à 2011**2011 étant d'ailleurs parfaitement neutre puisque divisible par 2001)
par le facteur 503, puisque N**502=1 (Mod 503) et donc N**2011=((N**502)**4) * N**3 (Mod503)=N**3 (Mod503). La somme des premiers nombres de 1 à N à la puissance 3 étant égale à (N*(N+1))**2/4 est donc divisible par les facteurs impairs de N+1 donc
2012/4=513. Ouf on y est donc...
La question 2 est finalement plus simple à démontrer.
Remarquons que 1**k + 2**k est divisible par 3 (soit la somme des deux premiers nombres) dès que k est impair, puisque 2**k est toujours égal à 2 (mod 3) quand K est impair.
Montrons par récurrence que pour k impair si 1**k + 2**k + 3**k + ...+ n**k est divisible par la somme des N premiers chiffres n*(n+1)/2, alors c'est aussi vrai pour la somme des N+1 puissances k, à savoir que 1**k + 2**k + 3**k ..+n**k + (n+1)**k est divisible par (n+1)*(n+2)/2.
Cette nouvelle somme est évidemment divisible par n+1 puisque la somme précédente était divisible par (n+1) et que le terme ajoputé est une puissance de n+1.
Est-elle divisible par (n+2) ? On constate que les couples symétriques de cette suite à savoir 1**k + (n+1)**k , de même que 2**k + n**k , ., 3**k +(n-1)**k, ...sont divisibles par n+2, justement parce que k est impair (A**2k+1 +B**2k+1= (A+B)*( A**2k -A**(2k-1)
*B...+B**2k)).
Si n+1 est pair tous les nombres de la suite peuvent être couplés CQFD, et si n+1 est impair;
le nombre (n+2)/2 reste tout seul ce qui est évidemment suffisant pour montrer que la somme des N+1 puissances k est divisble par (n+1)*(n+2)/2 CQFD
