PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

(1)

0 1 2 3 4 5 0

20 40 60 80 100 120 140

Nombre de repas pris à la cantine

Nombre d'élèves

BREVET BLANC Novembre 2008 - CORRECTION DE MATHÉMATIQUES

PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

Exercice 1 (3 points)

Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.

A = 7 3−4

3÷2

5 B =



³₂



²⁻



¹₃



^×



⁻⁵₂



^{D =}³^×10_15×²^×^1,2₁₀²^×¹⁰⁵

A = ⁷ 3−4

3×5

2 B = 3²

2²1×5

3×2 D = 3×1,2

15 ×10²×10⁵ 10² A = 7

3−2×2×5

3×2 B = ⁹

45

6 D = ^3,6

15 ×10⁵ A = 7

3−10

3 B = 9×3

4×35×2

6×2 D = 0,24×10⁵

A = ⁻³

3 B = ²⁷

1210

12 D = 24 000

A = −1 B = 37

12

Exercice 2 (4 points)

R1 R2 R3

1 Pour tous nombres relatifs u et v, le produit – u × v × u × v est...

positif négatif de signe

impossible à déterminer 2 La valeur arrondie au dixième de

2 3 est...

1 0,6 0,7

3 L'écriture scientifique de 0,000

045 9 est... 459 × 10^–7 0,459 × 10^–4 4,59 × 10^–5

4 L'expression n – 5n est égale à... – 5n² n(1 – 5) – 4n

5 3x – 4 = – 2x + 11 donc... – 1x = 9x 5x = 7 5x = 15 6 Il y a proportionnalité entre... la taille et l'âge

d'un homme ou d'une femme

la circonférence d'un cercle et son

rayon

l'aire d'un disque et son rayon

7 Augmenter un prix de 100 %

revient à... le multiplier par 2 lui ajouter 100 le multiplier par 100

8

En une semaine : Il y a autant

d'élèves qui prennent 3 repas

que d'élèves qui prennent 5 repas

par semaine

1 570 repas sont pris par les élèves

en une semaine

Un peu plus d'un élève sur 10 ne mange pas à la

cantine

(2)

Exercice 3 (3 points)

1. Les nombres 682 et 496 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.

Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.

Or, ces deux nombres sont pairs, donc ils ont au moins 2 comme diviseur commun.

Donc ils ne sont pas premiers entre eux.

2. Calculer le PGCD de 682 et de 496.

PGCD (682 ; 496) = PGCD (496 ; 186) = PGCD (186 ; 124) = PGCD (124 ; 62) = 62 car 124 = 2×62

3. Simplifier la fraction 682

496 pour la rendre irréductible, en indiquant la méthode utilisée.

Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.

En simplifiant par le PGCD de ces deux nombres, on obtient deux nombres premiers entre eux, et donc une fraction irréductible.

682

496=62×11 62×8 =11

8 .

Exercice 4 (2 points)

Pour le 1^er mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et de 78 roses. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes le fleurs.

1. Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ?

Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes le fleurs, donc il faut calculer le PGCD des nombres 182 et 78.

PGCD (182 ; 78) = PGCD (78 ; 26) = 26 car 78 = 3×26.

Julie pourra donc faire 26 bouquets identiques.

2. Quelle sera la composition de chaque bouquet ? 182÷26 = 7

78÷26 = 3

Chaque bouquet sera composé de 7 brins de muguets et de 3 roses.

(3)

PARTIE 2 : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 POINTS)

Exercice 1 (5 points)

1. Construire un triangle ABC tel que : AB = 4,8 cm ; AC = 6,4 cm et BC = 8 cm.

2. Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

Le plus long côté du triangle est BC.

donc BC² = 8² = 64

et AC²+AC² = 4,8²+6,4² = 23,04 + 40,96 = 64 On constate que BC² = AC² + AB²

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

3. Construire le point D symétrique du point B par rapport au point A.

4. Calculer l'aire du triangle BCD.

Dans le triangle BCD, (CA) ⊥ (BD), donc (CA) est la hauteur issue de A du triangle BCD.

Aire(BCD) = ^BD^×CA

2 =2×4,8×6,4

2 =4,8×6,4=30,72. L'aire du triangle BCD est donc de 30,72 cm².

Exercice 2 (4 points)

1. Démontrer que le triangle DBE est rectangle en B.

On sait que [DE] est un diamètre du cercle (C) et que B et D sont des points du cercle.

Or, si un triangle s'inscrit dans un cercle dont le diamètre représente un des côtés du triangle, alors ce triangle est rectangle.

Donc le triangle BDE est rectangle en B.

2. Démontrer que les droites (OA) et (BD) sont perpendiculaires.

On sait que ABOD est un losange.

Or, si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales se coupent en leur milieu et perpendiculairement.

Donc les droites (OA) et (BD) sont perpendiculaires.

3. Démontrer que les droites (OA) et (EB) sont parallèles.

On sait que le triangle EBD est rectangle en B (question 1), donc les droites (EB) et (BD) sont

A B

C

D

@o p tio n s;

@fig u re;

A = p o in t( -1 .3 3 , -0 .9 7 ) { (-0 .7 7 ,-0 .2 7 ) };

ceray A4 .8 = cercleray o n ( A , 4 .8 ) { i };

B = p o in tsu r( ceray A4 .8 , 3 5 7 .2 2 ) { (0 .2 3 ,-0 .2 7 ) };

sAB = seg men t( A , B ) { // };

ceray A6 = cercleray o n ( A , 6 .4 ) { i };

ceray B8 = cercleray o n ( B , 8 ) { i };

(4)

perpendiculaires.

On sait que (OA) et (BD) sont perpendiculaires (question 2).

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Donc (OA) et (EB) sont parallèles.

Exercice 3 (3 points)

Soit un triangle ABC. Le point I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [AC] et K est le milieu du segment [BC].

1. Tracer la figure.

2. Démontrer que IJKB est un parallélogramme.

On sait que dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC].

Or, si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.

Donc (IJ) est parallèle à la droite (BC) et comme K ∈ [BC], alors (IJ) // (BK).

On sait que K est le milieu de [BC] et J milieu de [AC].

D'après la même propriété des droites parallèles dans un triangle, Donc (JK) est parallèle à (AB), et comme I ∈ [AB], alors (JK) // (IB).

Dans le quadrilatère IJKB, on sait que (IJ) // (BK) et que (JK) // (IB).

Or, si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c'est un parallèlogramme.

Donc IJKB est un parallélogramme.

(5)

PARTIE 3 : PROBLÈME (12 POINTS)

Première partie : (3,5 points)

a) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.

On sait que ABC est un triangle tel que : AC = 20 cm ; BC = 16 cm ; AB = 12 cm.

Le côté le plus long est AC, d'où : AC² = 20² = 400

BC² + AB² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400 On constate que AC² = BC² + AB²,

donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

b) Calculer l'aire du triangle ABC.

Le triangle ABC est rectangle en B, donc son aire est égale à : AB×BC

2 =12×16 2 =96.

L'aire du triangle ABC est égale à 96 cm².

c) Démontrer, en s'aidant de la question a), que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).

On sait que le triangle ABC est rectangle en B, on en déduit que (AB) ⊥ (BC).

On sait aussi que F est un point du segment [BC] et que la perpendiculaire à la droite (BC) passant par F coupe [CA] en E ; on en déduit que (EF) ⊥ (BC).

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Donc (AB) // (EF).

Deuxième partie : (4 points)

On se place dans le cas où CF = 4 cm.

a) Démontrer que EF = 3 cm.

Les droites (AE) et (BF) se coupent en C et les droites (AB) et (EF) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès, on a donc : CE CA=CF

CB=EF

AB soit CE 20 = 4

16=EF 12 On en déduit que ^EF

12 = 4

16 d'où ^EF⁼⁴^×12

16 soit EF = 3 cm.

b) Calculer l'aire du triangle EBC.

Dans le triangle EBC, (EF) ⊥ (BC), donc (EF) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.

L'aire du triangle EBC sera donc égale à 24 cm² : BC×EF

2 =16×3

2 =24

Troisième partie : (4,5 points)

On se place dans le cas où F est un point quelconque du segment [BC], distinct de B et de C.

Dans cette partie, on pose CF = x (x étant un nombre tel que : 0 < x < 16).

a) Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à 3 4 x.

Les droites (AE) et (BF) se coupent en C et les droites (AB) et (EF) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès, on a donc : CE CA=CF

CB=EF

AB soit CE 20 = x

16=EF 12 .

A

B F C

E

@o p tio n s;

rep ereo rth o (3 1 3 ,2 6 3 ,3 0 ,1 ,1 ){ 0 , mo y en , g risfo n ce , n u m1 ,i};

@fig u re;

A = p o in t( -6 .4 , 3 .3 7 ) { (-0 .4 3 ,-0 .6 7 ) };

B = p o in t( -6 .4 , -1 .6 7 ) { (-0 .5 ,-0 .0 3 ) };

sAB = seg men t( A , B );

C = p o in t( 1 .0 7 , -1 .6 7 );

sB C = seg men t( B , C );

(6)

On en déduit que EF 12 = x

16 d'où EF= x×12

16 soit EF=3 4 x. b) Montrer que l'aire du triangle EBC, exprimée en cm², est égale à 6 x.

BC×EF

2 =

16×



³₄ ^x



2 =8×3

4 x=2×3 x=6x. L'aire du triangle EBC est donc égale à 6 x.

c) Pour quelle valeur de x l'aire du triangle EBC, exprimée en cm², est-elle égale à 33 ? On doit résoudre l'équation : aire (EBC) = 33

soit 6x=33 soit x=33

6 soit ^x⁼¹¹

2 =5,5 cm².

d) Exprimer en fonction de x l'aire du triangle EAB.

aire (EAB) = aire (ABC) - aire (EBC) aire (EAB) = 96 - 6 x

e) Pour quelle valeur exacte de x l'aire du triangle EAB est-elle égale au double de l'aire du triangle EBC ?

On doit résoudre l'équation 96−6x=2×6 x soit 96=12x6x

⇔96=18x

⇔x=96 18

⇔x=16 3

donc l'aire du triangle EAB est égale au double de l'aire du triangle EBC pour x = 16 3 cm.