D30348. Pliage en volume
On plie le triangle acutangle ABC le long des segments QR, RP,P Q, joi- gnant les milieux des cˆot´es, de fa¸con que les sommets A, B, C co¨ıncident, formant un t´etra`edreP QRS. Quel est le volume de ce t´etra`edre ?
Solution
Soit AA0 la hauteur abaiss´ee de A sur BC, I son milieu sur sa m´ediatrice QR, etH l’orthocentre du triangleABC.
Dans le pliage de la partieAQR, le sommetA d´ecrit un arc de cercle d’axe QR qui se projette sur le planP QR selon la droite IHA0. Ainsi le sommet S du t´etra`edre se projette sur le plan de la base en un point appartenant `a la hauteur HA0; le mˆeme argument vaut pour les autres hauteurs, et S se projette donc sur la base en H.
La hauteurSH =h du t´etra`edre v´erifieh2+HI2 =IS2 =IA2. Si r est le rayon du cercle circonscrit au triangleABC, un peu de trigonom´etrie conduit
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ah2/r2 = 4 cosAcosBcosC, expression ne d´ependant pas du sommetA,B ouC ´etudi´e, ce qui confirme qu’ils co¨ıncident enS apr`es pliage.
Le t´etra`edre, dont la base P QR a pour aire le quart de celles =abc/(4r) du triangleABC, a pour volumeV = (h/3)(s/4) =
= (sr/12)√
4 cosAcosBcosC = (abc/24)√
cosAcosBcosC.
A partir des relations telles que b2+c2−a2 = 2bccosA, on a en fonction des cˆot´es du triangle ABC
V =p(b2+c2−a2)(c2+a2−b2)(a2+b2−c2)/4608.
Jean-Nicolas Pasquay observe que le t´etra`edre ainsi construit est ´equifacial.
Son volume peut s’obtenir par une formule applicable `a tout t´etra`edre, que J.N. Pasquay ´etablit en utilisant la trigonom´etrie sph´erique :
V = (lmn/6) q
sinpsin(p−a) sin(p−b) sin(p−c)
o`ul, m, nsont les longueurs des arˆetes adjacentes `a un sommet, eta, b, cles angles qu’elles forment, aveca+b+c= 2p(on reconnaˆıt une analogie avec la formule de H´eron).
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