corrigé

Exercice 1 : Développer les expressions suivantes : f (x )=(2 x−9)2−(3 x +7)(x +8) f (x )=(4 x2−36 x +81)−(3 x2+31 x +56) f (x )=4x2−36 x +81−3 x2−31 x−56 f (x )=x2−67 x+ 25 g ( x)=(−x +3)(−x+4)2+(2 x−1)(−x+5) g ( x)=(−x +3)( x2−8 x +16)+(−2 x2+11 x−5) g ( x)=(−x3+11 x2−40 x+48)−2 x2+11 x−5 g ( x)=−x3_{+9 x}2_{−29 x +43} h( x)=

(

1 3 x− 1 2

)(

1 3x+ 1 2

)

−3

(

7 2x−1

)(

−x + 1 3

)

h( x)=

(

1 9 x 2 −1 4

)

+

(

7 2 x−1

)

(3 x−1) h( x)=1 9 x 2 −1 4+ 21 2 x 2 −13 2 x +1 h( x)=191 18 x 2 −13 2 x + 3 4

Exercice 2 : Factoriser les expressions suivantes : f (x )=( x−4)2+(7 x +6)( x−4)−4+ x f (x )=( x−4)2_{+(7 x +6)( x−4)+(x−4)} f (x )=( x−4)[( x−4)+(7 x +6)+1 ] f (x )=( x−4)(x−4+7 x +6+1) f (x )=( x−4)(8 x+3) g ( x)=16 x2−49 g ( x)=(4 x)2−72 g ( x)=(4 x−7)(4 x+7) h( x)=49−x2+(7− x)(5 x−6)+x −7 h( x)=(7−x )(7+x )+(7−x )(5 x−6)−(7− x) h( x)=(7−x )[(7+x )+(5 x−6)−1] h( x)=(7−x )(7+x +5 x−6−1) h( x)=6 x (7−x) k ( x)=9 x3 +30 x2 +25 x k ( x)= x (9 x2+30 x +25) k ( x)= x [(3 x)2+2×5×3 x+52] k ( x)= x (3 x+5)2 l (x )=8 x2−50 l (x )=2(4 x2−25) l (x )=2(2 x−5)(2 x+5)

Exercice 3 : Écrire sous forme canonique les polynômes du second degré suivant, puis sous forme factorisée (si la forme factorisée existe...).

f (x )=−2 x2_{+12 x−14} f (x )=−2( x2_{−6 x +7)}

f (x )=−2[( x−3)2−2 ] . La forme canonique est : f (x )=−2( x−3)2+4 f (x )=−2( x−3−

√2)( x−3+√2)

g ( x)=1 2x 2 −x−3 2

g est un polynôme du second degré donc sa représentation graphique est une parabole de sommet S, avec x_S=− −1

2×1 2

=1 . g (1)=−2 .

La forme canonique de g ( x) est donc : g ( x)=1

2(x−1) 2₋₂ g ( x)=1 2[(x−1) 2 −4 ] g ( x)=1 2(x−3)(x +1) h( x)=2 x2−x +1

h est un polynôme du second degré donc sa représentation graphique est une parabole de sommet T, avec xT=− −1 2×2= 1 4 . h

(

1 4

)

= 7 8 .

La forme canonique de h( x) est donc : h( x)=2

(

x−1 4

)

2 +7 8 Pour tout x ∈ ℝ, h( x)⩾7 8

La parabole représentative de h n'a pas de point d'intersection avec l'axe des abscisses et il n'est donc pas possible de factoriser h( x) . (Attention à la réponse donnée par Xcas...)

k ( x)=2 x2 −x −15 k ( x)=2

(

x2 −1 2 x− 15 2

)

k ( x)=2

[

(

x−1 4

)

2 − 1 16− 15 2

]

k ( x)=2

[

(

x−1 4

)

2 −121

16

]

. La forme canonique de k ( x) est : k ( x)=2

(

x − 1 4

)

2 −121 8 k ( x)=2

(

x −1 4− 11 4

)(

x− 1 4+ 11 4

)

k ( x)=2(x −3)

(

x+5 2

)

Exercice 4 : Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions définies par les expressions suivantes, et écrire leur expression sous la forme la plus factorisée possible :

1. f (x )= 1 x−3+ 1 2 x +1 x−3=0 ou 2 x +1=0 ⇔ x=3 ou x=−1 2 df =

]

−∞;−1 2

[

∪

]

−1

2 ;3

[

∪]3;+∞[ (on peut aussi écrire : df = ℝ \

{

− 1 2; 3

}

)

2. g ( x)= x+2 x2₋₁ x2−1=0 ⇔ (x−1)(x +1)=0 ⇔ x=1 ou x=−1 dg = ]−∞;−1[ ∪]−1;1 [∪]1 ;+∞ [ 3. h( x)= 2

√1−2 x

1−2 x>0 ⇔ 2 x <1 ⇔ x <1 2 (multiplier par 1

2 chacun des membres de l'inégalité n'en changeant pas le sens) dh =

]

−∞;1

2

[

4. k ( x)= 2 x

3 x2₊₄−1 Pour tout réel x, x2

⩾0 3 x2_⩾0 3 x2+4⩾4 Donc, pour tout réel x, 3 x2

+4≠0 dk = ℝ 5. l (x )= 1 x−2 dl = ]−∞; 2[ ∪]2 ;+∞[ s( x)= x +2 x2−4 x2 −4=0 ⇔ (x−2)(x +2)=0 ⇔ x=2 ou x=−2 ds = ]−∞;−2 ]∪]−2 ;2 [∪] 2;+∞[

dl ≠ ds donc les fonctions l et s ne sont pas égales.

Pour tout x ∈ ds, s( x)= x +2

(x−2)(x +2) s( x)= 1

x−2

s( x)=l( x) : les fonctions l et s sont égales sur ds uniquement.

Exercice 5 : Quels sont les trois entiers impairs consécutifs dont la somme vaut 411 ?

La façon dont est posée la question permet de présupposer l'existence de trois entiers consécutifs ayant pur somme 411. Et s'ils existent, leur unicité apparaît évidente.

Ce problème peut dès lors se résoudre simplement de façon algorithmique, en essayant les combinaisons successives :

entier 1 entier 2 entier 3 somme

étape 1 1 3 5 9

étape 2 3 5 7 15

étape 3 5 7 9 21

On remarque assez rapidement que la somme est augmentée de 6 à chaque étape, la première somme étant 9. On obtient ainsi une suite de nombres : u1=9 ; u2=15 ; u3=21 ; u5=27 ; …. ; un ; un+1=un+6 ; …

Ou encore : u₁=9 ; u₂=9+6 ; u₃=9+6×2 ; u₄=9+6×3 ; … ; un=9+6×(n−1) ; un+1=9+6 n ; …

On peut continuer ce raisonnement qui permettra assez facilement le numéro N de l'étape à laquelle uN=411 et en déduire les trois entiers cherchés.

Cette succession d'étapes peut aussi facilement être mise en œuvre à l'aide d'un tableur :

Il ne reste plus qu'à tirer la ligne 3 vers le bas jusqu'à arriver à l'étape cherchée...

…

Les trois entiers impairs consécutifs sont donc 135, 139 et 141, obtenus à l'étape 68.

L'algorithme peut bien sûr être écrit en pseudo-code (pour être ensuite implémenté dans un langage de programmation) :

Variables : n, S : entiers # n est le premier entier impair de la somme ; S est la somme

début_algo

Initialisation : n ← 1 # l'initialisation correspond à l'étape 1 ci-dessus : pour cette S ← 9 # raison, il est d'usage de commencer à l'étape 0 plutôt qu'à la 1, Traitement : tant que S ≠ 411 faire # et de considérer que le 1er _{passage dans la boucle est l'étape 1.}

n ← n + 2 S ← S + 6 fintantque Sortie : afficher n, n + 2 et n + 4 fin_algo Implémenté en Python 3 :

Et le résultat une fois le programme lancé :

Résolution algébrique :

Trois entiers impairs consécutifs peuvent s'écrire 2 n+1 , 2 n+3 et 2 n+5 , où n est un entier naturel.

Si l'on présuppose l'existence d'une valeur n telle que la somme de ces trois entiers vaut 411, on écrira : soit n tel que (2 n+1)+(2 n+3)+(2 n+5)=411 .

Et on continuera à chercher n à l'aide d'un raisonnement déductif...

Si, au contraire, on s'interroge sur l'existence d'une telle valeur n, il faut alors chercher une condition nécessaire et suffisante sur l'entier naturel n pour laquelle l'égalité ci-dessus est vérifiée. On écrira alors :

(2 n+1)+(2 n+3)+(2 n+5)=411 ⇔ 2 n+1+2 n+3+2 n+5=411 (raisonnement « par équivalence »)

⇔ 6 n+9=411

⇔ 6 n=402

⇔ n=67 sans calculatrice ! 2 ×67 +1=135 Les trois entiers cherchés sont 2×67+1=135 , 137 et 139.

C'est efficace aussi !

Exercice 6 : Si on augmentait de 3 m le côté d'un carré, alors son aire augmenterait de 45 m². Quelle est le côté de ce carré ?

La longueur du carré pouvant ne pas être un entier, il n'est pas forcément judicieux de penser à une procédure algorithmique ici.

Il est par contre possible d'utiliser un logiciel de géométrie dynamique (le côté étant défini à l'aide d'un curseur, dans GeoGebra, par exemple) pour établir une conjecture, qu'il suffirait peut-être de vérifier ensuite. En posant x le côté du carré ( x⩾0 ), on peut aussi s'intéresser à la fonction a1 : x  (x +3)2 qui à x associe l'aire du carré de côté x +3 , et à la fonction a2 : x  x2

+45 qui à x associe l'aire du carré de côté x, augmentée de 45, et « regarder » (à l'aide de la calculatrice, par exemple) l'abscisse du point d'intersection des courbes représentatives de ces fonctions (on obtiendra ainsi une conjecture).

Avec puis ISCT, on obtient une bonne conjecture... Il semble que le côté du carré est 6.

Vérifions : a1(6) = (6+3)2

=92=81 et a2(6) = 62

+45=36+45=81

a1(6) = a2(6) donc si on augmente de 6 cm le côté d'un carré, son aire augmente de 45 cm².

Résolution algébrique : a1(x) = a2(x) ⇔

{

(x +3)2=x2+45 x⩾0 ⇔

{

x2+6 x +9= x2+45 x⩾0 ⇔

{

6 x=36 x⩾0 ⇔ x=6

(travail « par équivalence » car on ne présuppose pas l'existence et l'unicité d'une valeur de x répondant au problème)

Exercice 7 : Lorsqu'on soustrait un même nombre au numérateur et au dénominateur de la fraction 25 9 , alors on obtient une fraction égale au nombre soustrait. Quel est ce nombre ?

Le nombre cherché est nécessairement un entier (qu'on suppose naturel et non nul) et on peut ici travailler en utilisant un algorithme. Si l'on est pas sûr qu'une solution existe, il faut imaginer une condition d'arrêt de l'algorithme convenable.

Variables : n, numérateur, dénominateur : entiers

début_algo

Initialisation : n ← 0

numérateur ← 25 dénominateur ← 9

Traitement : tant que numérateur/dénominateur ≠ n et dénominateur ≠ 0 faire n ← n + 1

numérateur ← numérateur – 1 dénominateur ← dénominateur – 1 fintantque

Sortie : si dénominateur = 0 alors faire

afficher « Il n'y a pas de solution au problème posé. » sinon faire

afficher n finsi

fin_algo

La mise en œuvre de cet algorithime n'étant pas très longue, cela peut être fait « à la main » : n numérateur dénominateur fraction

0 25 9 25 9 1 24 8 3 2 23 7 23 7 3 22 6 11₃ 4 21 5 21₅ 5 20 4 5 Implémenté en Python 3 : Et le résultat :

Résolution algébrique :

Soit n un entier naturel non nul. n=25−n 9−n ⇔

{

n(9−n)=25−nn≠9 ⇔

{

−n2+10 n−25=0 n≠9 ⇔

{

n2−10 n+25=0 n≠9 ⇔

{

(n−5)2=0 n≠9 ⇔ n=5

Un logiciel de calcul formel (tel que Xcas, ici, par exemple) sait très bien faire ce travail...