D660. Objectif 2019
Partant d'un ensemble de points, Puce peut y ajouter un point si c'est le centre d'un cercle passant par 3 des points existants déjà. Zig lui donne un ensemble de départ de trois points A, B, C qui forment un triangle équilatéral de côté 6.
Q1. Montrer que Puce peut obtenir un ensemble de 8 points de diamètre >10 (le diamètre de l'ensemble est la plus grande distance entre 2 de ses points).
Q2. Montrer qu'avec une démarche convenable et 400 points au plus, Puce peut obtenir un ensemble de diamètre >2019.
Pour les plus courageux avec l’aide éventuelle d’un logiciel (Geogebra ou autre) : déterminer le nombre minimum de points d'un ensemble de diamètre >2019.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
Plaçons-nous dans le plan complexe, notons 𝑎 = 2√3, 𝑏 = −√3 + 3𝑖, 𝑐 = −√3 − 3𝑖 des affixes de A, B, C.
Le centre 𝜔(𝑥, 𝑦, 𝑧) du cercle passant par trois points d’affixe 𝑥, 𝑦, 𝑧 est donné par : 𝜔(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑥𝑥(𝑦 − 𝑧) + 𝑦𝑦(𝑧 − 𝑥) + 𝑧𝑧(𝑥 − 𝑦)
𝑥(𝑦 − 𝑧) + 𝑦(𝑧 − 𝑥) + 𝑧(𝑥 − 𝑦) On pose :
𝑑 = 𝜔(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 0 𝑒 = 𝜔(𝑎, 𝑏, 𝑑) = √3 + 3𝑖
𝑓 = 𝜔(𝑏, 𝑑, 𝑒) = 2𝑖 𝑔 = 𝜔(𝑐, 𝑑, 𝑓) = −3√3 + 𝑖 ℎ = 𝜔(𝑎, 𝑑, 𝑔) = √3 + 23𝑖
Le diamètre de l’ensemble des 8 points {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} est supérieur à |ℎ − 𝑐| > 26 > 10.
On pose :
𝑘 = 𝜔(𝑑, 𝑓, ℎ) = 81√3 + 𝑖 𝑙 = 𝜔(𝑎, 𝑑, 𝑘) = √3 + 9599𝑖
Le diamètre de l’ensemble des 10 points {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑘, 𝑙} est supérieur à |𝑙 − 𝑐| > 9602 > 2019.
Je conjecture que 10 est le nombre minimum de points nécessaires pour obtenir un diamètre >2019.
