Partant d'un ensemble de points, Puce peut y ajouter un point si c'est le centre d'un cercle passant par 3 des points existant déjà. Zig lui donne un ensemble de départ de trois points A,B,C qui forment un triangle équilatéral de côté 6.
Q₁ Montrer que Puce peut obtenir un ensemble de 8 points de diamètre >10 (le diamètre de l'ensemble est la plus grande distance entre 2 de ses points).
Q₂ Montrer qu'avec une démarche convenable et 400 points au plus, Puce peut obtenir un ensemble de diamètre >2019.
Pour les plus courageux avec l’aide éventuelle d’un logiciel (Geogebra ou autre): déterminer le nombre minimum de points d'un ensemble de diamètre >2019.
Q1 : A partir des points A, B, C, on construit D centre du cercle ABC, et E centre de BCD, diamétralement opposé à A, F centre de BDE, au tiers de BC ; G, centre de BEF complète le parallélogramme BFEG (son abscisse est -2 et son ordonnée -2√3).
Le centre H de ADG forme est tel que le triangle AGH est équilatéral de coté AG=2√13, donc H a pour abscisse est -7 et pour ordonnée √3.
Donc CH=√112>10. CH/AB=2√7/3>1,76
Q2 : Nous avons vu que DH=2√13, DA=2√3, soit DH/DA=√(13/3)=2,08...
En répétant la construction de E, F, G, H en partant des centres de CAD et ABD, donc en construisant huit points supplémentaires (12 de plus que le triangle initial et son centre) on obtient un triangle équilatéral HIJ de centre D de coté 6√(13/3), à partir duquel on peut réitérer le processus. En huit itérations, donc en construisant 96 points (soit 100 points au total), on obtient un triangle de coté 2*134/33>2115 (on peut d’ailleurs s’arrêter à 96, lorsque l’on a obtenu un coté).
On peut en réalité faire beaucoup mieux en construisant comme ci-dessus les points D, E, F, puis G’ centre de ADF et H’ centre de CDG’ : Geogebra donne DH’=23,07 et AH’=26,23 soit DH’/DA=6,66 : en trois itérations (40 points) on obtient un triangle de coté supérieur à 1772 et avec 1 point de plus un diamètre supérieur à 2017.
