Déterminer le nombre minimum de déplacements qui lui permet d'atteindre le point d'abscisse

G134 – L'abeille butineuse

Cette abeille ouvrière placée à l'origine O décide de butiner de le long de l'axe x'Ox. Elle effectue des déplacements successifs de longueurs égales à 3 centimètres, 5 centimètres, 9 centimètres,17 centimètres... et de manière générale 2^k + 1 centimètres lors du k-ième déplacement. Avant chacun d'eux elle choisit avec la même probabilité 1/2 le sens des x positifs ou bien le sens des x négatifs.

Q₁ En supposant que cette abeille est immortelle, démontrer qu'elle peut atteindre n'importe quel point d'abscisse entière, positive, négative ou nulle de l'axe x'Ox après être passée éventuellement plusieurs fois par un ou plusieurs points. Déterminer le nombre minimum de déplacements qui lui permet d'atteindre le point d'abscisse = + 12 centimètres.

Q₂ En supposant que le plus grand des déplacements successifs n'excède pas 25 mètres, déterminer :

- les probabilités respectives pour que l'abeille atteigne le point d'abscisse 2016 centimètres, le point d'abscisse 2015 centimètres, le point d'abscisse 2017 centimètres.

- le point d'abscisse entière positive le plus proche de l'origine que l'abeille ne peut pas atteindre, - le nombre de points d'abscisses entières strictement positives que l'abeille est susceptible d'atteindre.

Solution proposée par Patrick Gordon Q₁

Intéressons-nous aux abscisses positives ou nulles; les autres s'obtiendront en changeant les sens de tous les déplacements.

La somme 3 +5 +9 +… + (2^k + 1) de k termes vaut : (2 + 4 +… + 2^k) + k = 2 (2^k–1) + k =2^{k +1} + k – 2. Si l'on prend le (k+1)^ème terme avec le signe moins, soit : – (2^k+1 + 1), on obtient pour somme des (k+1) premiers termes : k – 3. On peut ainsi former tout entier ≥ – 2.

En particulier, le point d'abscisse + 12 peut être obtenu en 16 déplacements :

1 3

2 5

3 9

4 17

5 33

6 65

7 129

8 257

9 513

10 1025 11 2049 12 4097 13 8193 14 16385 15 32769 16 -65537 Total 12

Il n'est pas établi que c'est le minimum.

Q2

Le point d'abscisse 2016 centimètres peut être atteint avec la séquence :

-3 5 9 -17 33 65 129 257 513 1025

Comme elle comporte 10 déplacements, la probabilité correspondante est de 1/2¹⁰. Quant au point d'abscisse 2015 centimètres il peut être atteint avce la séquence :

-3 5 9 -17 33 65 129 257 513 -1025 2049

Comme elle comporte 11 déplacements, la probabilité correspondante est de 1/2¹¹.