A323. Les nombres prolifiques
Un nombre réel qui est égal à la somme des racines carrées de deux entiers consécutifs est appelé, par convention, nombre prolifique.Ainsi
Démontrer que N élevé à n'importe quelle puissance entière positive donne toujours un nombre prolifique.
Soit :
√ + √ + 1
= + + 1 On a :
= 2
. + − 1!
2! − !
Formule empirique, il est vrai, mais je fais manger mon chapeau au voisin, si elle n’est pas exacte.
Si, on pose
,=
!! . !, la suite des coefficients de
, on a :
,=
,= 4
,
−
,= "1 #$ %#& $'$( 0 #$ %#& $( *
,
= " +((é (-$& #$ %#& $'$( .% /0.% /
1+((é #$ %#& $( * Et, à l’instar du triangle de Pascal, la formule de récurrence :
,= 4
,+ 2
,−
,n\p 1 ... p-1 p ...
1 1
2 4
....
n-2 (n-2)² Z
n-1 (n-1)² X Y
n n² 4X + 2Y - Z
...
n\p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 1
2 4 4
3 9 24 16
4 16 80 128 64
5 25 200 560 640 256
6 36 420 1792 3456 3072 1024
7 49 784 4704 13440 19712 14336 4096
8 64 1344 10752 42240 90112 106496 65536 16384
9 81 2160 22176 114048 329472 559104 552960 294912 65536
10 100 3300 42240 274560 1025024 2329600 3276800 2785280 1310720 262144
11 121 4840 75504 604032 2818816 8200192 15319040 18382848 13697024 5767168 1048576
12 144 6864 128128 1235520 7028736 25346048 60162048 95256576 99614720 66060288 25165824 4194304
13 169 9464 208208 2379520 16180736 70606848 206389248 412778496 566558720 524812288 313524224 109051904 16777216 14 196 12740 326144 4356352 34850816 180590592 635043840 1555857408 2684616704 3249799168 2701131776 1468006400 469762048 15 225 16800 495040 7637760 70946304 429977600 1786060800 5239111680 11026104320 16713252864 18087936000 13631488000 6794772480 16 256 21760 731136 12899328 137592832 963149824 4656988160 16066609152 40324038656 74281123840 100327751680 98146713600 67645734912
